Решите уравнения: 1. 2 cosx + √3 = 0. 2. sin (2x - π/3) + 1 = 0. 3. cos²x + 3sinx - 3 = 0. 4. 3 sin²x = 2 sin x cosx + cos²x. 5. 5 sin²x - 2 sinx cosx + cos²x = 4. 6. Найдите корни уравнения sin 2x = √3 cos2x, принадлежащие отрезку [-1; 6].

Решение: 1. \(2 \cos x + \sqrt{3} = 0\) \(\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\) 2. \(\sin (2x - \frac{\pi}{3}) + 1 = 0\) \(\sin (2x - \frac{\pi}{3}) = -1\) \(2x - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\) \(2x = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{2} + 2\pi k\) \(2x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k\) \(x = -\frac{\pi}{12} + \pi k, k \in \mathbb{Z}\) 3. \(\cos^2 x + 3\sin x - 3 = 0\) \(1 - \sin^2 x + 3\sin x - 3 = 0\) \(-\sin^2 x + 3\sin x - 2 = 0\) \(\sin^2 x - 3\sin x + 2 = 0\) Пусть \(t = \sin x\), тогда \(t^2 - 3t + 2 = 0\) \(D = 9 - 8 = 1\) \(t_1 = \frac{3 + 1}{2} = 2\), \(t_2 = \frac{3 - 1}{2} = 1\) \(\sin x = 2\) (нет решений) \(\sin x = 1\) \(x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\) 4. \(3 \sin^2 x = 2 \sin x \cos x + \cos^2 x\) \(3 \sin^2 x - 2 \sin x \cos x - \cos^2 x = 0\) Разделим обе части на \(\cos^2 x\) (если \(\cos x = 0\), то \(\sin x = \pm 1\), и уравнение не выполняется) \(3 \tan^2 x - 2 \tan x - 1 = 0\) Пусть \(t = \tan x\), тогда \(3t^2 - 2t - 1 = 0\) \(D = 4 + 12 = 16\) \(t_1 = \frac{2 + 4}{6} = 1\), \(t_2 = \frac{2 - 4}{6} = -\frac{1}{3}\) \(\tan x = 1\) или \(\tan x = -\frac{1}{3}\) \(x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}\) или \(x = -\arctan(\frac{1}{3}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}\) 5. \(5 \sin^2 x - 2 \sin x \cos x + \cos^2 x = 4\) \(5 \sin^2 x - 2 \sin x \cos x + \cos^2 x = 4(\sin^2 x + \cos^2 x)\) \(5 \sin^2 x - 2 \sin x \cos x + \cos^2 x = 4 \sin^2 x + 4 \cos^2 x\) \(\sin^2 x - 2 \sin x \cos x - 3 \cos^2 x = 0\) Разделим обе части на \(\cos^2 x\) (если \(\cos x = 0\), то \(\sin x = \pm 1\), и уравнение выполняется) \(\tan^2 x - 2 \tan x - 3 = 0\) Пусть \(t = \tan x\), тогда \(t^2 - 2t - 3 = 0\) \(D = 4 + 12 = 16\) \(t_1 = \frac{2 + 4}{2} = 3\), \(t_2 = \frac{2 - 4}{2} = -1\) \(\tan x = 3\) или \(\tan x = -1\) \(x = \arctan(3) + \pi k, k \in \mathbb{Z}\) или \(x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}\) 6. \(\sin 2x = \sqrt{3} \cos 2x\) \(\tan 2x = \sqrt{3}\) \(2x = \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}\) \(x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}\) Находим корни на отрезке \([-1; 6]\): \([-1; 6] \approx [-0.318\pi; 1.91\pi]\) \(x = \frac{\pi}{6}, \frac{2\pi}{3}, \frac{7\pi}{6}, \frac{5\pi}{3}\) Приблизительные значения: \(0.52, 2.09, 3.66, 5.23\) Все корни попадают в указанный отрезок.