Решите уравнения: а) \(\sqrt{x-3}=x-5\); б) \(0{,}3^{5-2x}=0{,}09\); в) \(4^{x-3}+4^x=65\); г) \(9^x-7\cdot3^x-18=0\).

а) Для существования корня и неотрицательности правой части необходимо \(x\ge5\). Возведём обе части в квадрат: \(x-3=(x-5)^2\), откуда \(x^2-11x+28=0\). Корни квадратного уравнения: \(x=7\) и \(x=4\). Условию \(x\ge5\) удовлетворяет только \(x=7\); проверка: \(\sqrt{7-3}=2=7-5\).

б) Представим \(0{,}09=0{,}3^2\). Так как основания равны и \(0{,}3\ne1\), приравниваем показатели: \(5-2x=2\), поэтому \(x=\frac32\).

в) Вынесем \(4^x\): \(4^x\left(\frac1{64}+1\right)=65\). Тогда \(4^x\cdot\frac{65}{64}=65\), значит \(4^x=64=4^3\), откуда \(x=3\).

г) Пусть \(t=3^x\), где \(t>0\). Тогда \(9^x=t^2\), и уравнение принимает вид \(t^2-7t-18=0\). Разложим на множители: \((t-9)(t+2)=0\). С учётом \(t>0\) получаем \(t=9\), то есть \(3^x=3^2\) и \(x=2\).

Ответ: а) 7; б) \(\frac32\); в) 3; г) 2.