Решите уравнения: 1) cos 2x = 1; 2) tg (x - \frac{\pi}{4}) = 1; 3) sin(x + \frac{3\pi}{4}) = 0; 4) cos (\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6}) - 1 = 0; 5) 2 cos x + \sqrt{3} = 0; 6) 2sin^2x + sin x - 1 = 0; 7) sin x + cosx = 0; 8)3 sin^2 x - 2\sqrt{3} sin x cos x + cos^2 x = 0.

Решим каждое уравнение по порядку: 1) $$cos(2x) = 1$$ $$2x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$$ $$x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$$ Ответ: $$x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$$ 2) $$tg(x - \frac{\pi}{4}) = 1$$ $$x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$ $$x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$ Ответ: $$x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$ 3) $$sin(x + \frac{3\pi}{4}) = 0$$ $$x + \frac{3\pi}{4} = \pi n, n \in \mathbb{Z}$$ $$x = -\frac{3\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$ $$x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$ Ответ: $$x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$ 4) $$cos(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6}) - 1 = 0$$ $$cos(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6}) = 1$$ $$\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6} = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$$ $$\frac{x}{3} = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$$ $$x = -\frac{\pi}{2} + 6\pi n, n \in \mathbb{Z}$$ Ответ: $$x = -\frac{\pi}{2} + 6\pi n, n \in \mathbb{Z}$$ 5) $$2cos(x) + \sqrt{3} = 0$$ $$cos(x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$$ Ответ: $$x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$$ 6) $$2sin^2(x) + sin(x) - 1 = 0$$ Пусть $$t = sin(x)$$, тогда $$2t^2 + t - 1 = 0$$ $$D = 1 + 8 = 9$$ $$t_1 = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{1}{2}$$ $$t_2 = \frac{-1 - 3}{4} = -1$$ $$sin(x) = \frac{1}{2}$$ или $$sin(x) = -1$$ $$x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$ или $$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$$ Ответ: $$x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$ или $$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$$ 7) $$sin(x) + cos(x) = 0$$ $$sin(x) = -cos(x)$$ $$tg(x) = -1$$ $$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$ Ответ: $$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$ 8) $$3sin^2(x) - 2\sqrt{3}sin(x)cos(x) + cos^2(x) = 0$$ Разделим обе части на $$cos^2(x)$$, при условии, что $$cos(x)
eq 0$$ $$3tg^2(x) - 2\sqrt{3}tg(x) + 1 = 0$$ Пусть $$t = tg(x)$$, тогда $$3t^2 - 2\sqrt{3}t + 1 = 0$$ $$D = 12 - 12 = 0$$ $$t = \frac{2\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$ $$tg(x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$$ $$x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$ Теперь проверим случай, когда $$cos(x) = 0$$. Если $$cos(x) = 0$$, то $$sin(x) = \pm 1$$. Подставим в исходное уравнение: $$3( \pm 1)^2 - 2\sqrt{3} ( \pm 1) * 0 + 0^2 = 0$$ $$3 = 0$$ - неверно, следовательно, $$cos(x)
eq 0$$ Ответ: $$x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$