Решение уравнений и системы уравнений

1. Решим первое уравнение:

   $$900 - 61x^2 = 0$$ $$61x^2 = 900$$ $$x^2 = \frac{900}{61}$$ $$x = \pm \sqrt{\frac{900}{61}}$$ $$x = \pm \frac{30}{\sqrt{61}}$$ $$x = \pm \frac{30\sqrt{61}}{61}$$

   Ответ: $$x = \pm \frac{30\sqrt{61}}{61}$$

2. Решим второе уравнение:

   $$0 - 61x = 0$$ $$-61x = 0$$ $$x = 0$$

   Ответ: $$x = 0$$

3. Решим третье уравнение:

   $$t + 900 = 0$$ $$t = -900$$

   Ответ: $$t = -900$$

4. Решим систему уравнений:

   $$\begin{cases} xy = 30 \\ 2x^2 + 2y^2 = 122 \end{cases}$$

   Выразим y из первого уравнения:

   $$y = \frac{30}{x}$$

   Подставим это выражение во второе уравнение:

   $$2x^2 + 2(\frac{30}{x})^2 = 122$$ $$2x^2 + 2\frac{900}{x^2} = 122$$

   Разделим обе части уравнения на 2:

   $$x^2 + \frac{900}{x^2} = 61$$

   Умножим обе части уравнения на $$x^2$$:

   $$x^4 + 900 = 61x^2$$

   Перенесем все члены в одну сторону:

   $$x^4 - 61x^2 + 900 = 0$$

   Пусть $$z = x^2$$, тогда уравнение примет вид:

   $$z^2 - 61z + 900 = 0$$

   Решим квадратное уравнение относительно z:

   $$D = (-61)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 900 = 3721 - 3600 = 121$$ $$z_1 = \frac{61 + \sqrt{121}}{2} = \frac{61 + 11}{2} = \frac{72}{2} = 36$$ $$z_2 = \frac{61 - \sqrt{121}}{2} = \frac{61 - 11}{2} = \frac{50}{2} = 25$$

   Теперь найдем x и y:

   Для $$z_1 = 36$$:

   $$x^2 = 36 \Rightarrow x = \pm 6$$

   Если $$x = 6$$, то $$y = \frac{30}{6} = 5$$

   Если $$x = -6$$, то $$y = \frac{30}{-6} = -5$$

   Для $$z_2 = 25$$:

   $$x^2 = 25 \Rightarrow x = \pm 5$$

   Если $$x = 5$$, то $$y = \frac{30}{5} = 6$$

   Если $$x = -5$$, то $$y = \frac{30}{-5} = -6$$

   Ответ: $$\begin{cases} x = 6 \\ y = 5 \end{cases}$$, $$\begin{cases} x = -6 \\ y = -5 \end{cases}$$, $$\begin{cases} x = 5 \\ y = 6 \end{cases}$$, $$\begin{cases} x = -5 \\ y = -6 \end{cases}$$