Вариант 4

1. Решите уравнение:

a) $$2x^4 - 6x^2 = 0$$

$$2x^2(x^2 - 3) = 0$$

Отсюда, либо $$2x^2 = 0$$, что дает $$x = 0$$, либо $$x^2 - 3 = 0$$, что дает $$x^2 = 3$$, то есть $$x = \pm \sqrt{3}$$.

б) $$x^4 - 14x^2 + 45 = 0$$

Пусть $$y = x^2$$, тогда уравнение примет вид:

$$y^2 - 14y + 45 = 0$$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$$D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 45 = 196 - 180 = 16$$ $$y_1 = \frac{14 + \sqrt{16}}{2} = \frac{14 + 4}{2} = 9$$ $$y_2 = \frac{14 - \sqrt{16}}{2} = \frac{14 - 4}{2} = 5$$

Теперь вернемся к переменной $$x$$:

Если $$y = 9$$, то $$x^2 = 9$$, значит, $$x = \pm 3$$.

Если $$y = 5$$, то $$x^2 = 5$$, значит, $$x = \pm \sqrt{5}$$.

2. Найдите корни уравнения

$$\frac{x^3 - 3x^2 - 36x + 108}{x^2 - 9} = 0$$

Сначала найдем ОДЗ: $$x^2 - 9
eq 0$$, то есть $$x
eq \pm 3$$.

Теперь решим уравнение:

$$x^3 - 3x^2 - 36x + 108 = 0$$

Сгруппируем слагаемые:

$$x^2(x - 3) - 36(x - 3) = 0$$ $$(x^2 - 36)(x - 3) = 0$$

Отсюда, либо $$x^2 - 36 = 0$$, что дает $$x = \pm 6$$, либо $$x - 3 = 0$$, что дает $$x = 3$$.

Учитывая ОДЗ, корень $$x = 3$$ не подходит.

Таким образом, корни уравнения: $$x = \pm 6$$.

3. Решите уравнение методом введения новой переменной:

$$(x^2 - 10)^2 - 5(x^2 - 10) = 6$$

Пусть $$y = x^2 - 10$$, тогда уравнение примет вид:

$$y^2 - 5y - 6 = 0$$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49$$ $$y_1 = \frac{5 + \sqrt{49}}{2} = \frac{5 + 7}{2} = 6$$ $$y_2 = \frac{5 - \sqrt{49}}{2} = \frac{5 - 7}{2} = -1$$

Теперь вернемся к переменной $$x$$:

Если $$y = 6$$, то $$x^2 - 10 = 6$$, значит, $$x^2 = 16$$, то есть $$x = \pm 4$$.

Если $$y = -1$$, то $$x^2 - 10 = -1$$, значит, $$x^2 = 9$$, то есть $$x = \pm 3$$.

4. Задача:

Пусть $$x$$ - количество деталей, изготавливаемых вторым рабочим в час.

Тогда первый рабочий изготавливает $$x + 5$$ деталей в час.

Время, которое тратит второй рабочий на изготовление 300 деталей: $$\frac{300}{x}$$ часов.

Время, которое тратит первый рабочий на изготовление 300 деталей: $$\frac{300}{x + 5}$$ часов.

Известно, что первый рабочий тратит на 5 часов меньше, чем второй, следовательно:

$$\frac{300}{x} - \frac{300}{x + 5} = 5$$

Умножим обе части уравнения на $$x(x + 5)$$:

$$300(x + 5) - 300x = 5x(x + 5)$$ $$300x + 1500 - 300x = 5x^2 + 25x$$ $$5x^2 + 25x - 1500 = 0$$

Разделим обе части уравнения на 5:

$$x^2 + 5x - 300 = 0$$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-300) = 25 + 1200 = 1225$$ $$x_1 = \frac{-5 + \sqrt{1225}}{2} = \frac{-5 + 35}{2} = 15$$ $$x_2 = \frac{-5 - \sqrt{1225}}{2} = \frac{-5 - 35}{2} = -20$$

Так как количество деталей не может быть отрицательным, то $$x = 15$$.

5. При каких значениях b разность дробей $$\frac{5-2b}{3b+1}$$ и $$\frac{2b-3}{3b-1}$$ равна дроби $$\frac{22b-4}{9b^2 - 1}$$?

Прежде всего, определим ОДЗ: $$3b + 1
eq 0$$, $$3b - 1
eq 0$$, и $$9b^2 - 1
eq 0$$. Это означает, что $$b
eq \pm \frac{1}{3}$$

Вычислим разность дробей:

$$\frac{5-2b}{3b+1} - \frac{2b-3}{3b-1} = \frac{(5-2b)(3b-1) - (2b-3)(3b+1)}{(3b+1)(3b-1)}$$

Раскроем скобки:

$$\frac{15b - 5 - 6b^2 + 2b - (6b^2 + 2b - 9b - 3)}{9b^2 - 1} = \frac{15b - 5 - 6b^2 + 2b - 6b^2 - 2b + 9b + 3}{9b^2 - 1}$$

Упростим:

$$\frac{-12b^2 + 24b - 2}{9b^2 - 1}$$

Теперь приравняем эту разность к заданной дроби:

$$\frac{-12b^2 + 24b - 2}{9b^2 - 1} = \frac{22b - 4}{9b^2 - 1}$$

Так как знаменатели одинаковы, можем приравнять числители (учитывая ОДЗ):

$$-12b^2 + 24b - 2 = 22b - 4$$ $$-12b^2 + 2b + 2 = 0$$

Умножим обе части на -1:

$$12b^2 - 2b - 2 = 0$$

Разделим обе части на 2:

$$6b^2 - b - 1 = 0$$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$$D = (-1)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 1 + 24 = 25$$ $$b_1 = \frac{1 + \sqrt{25}}{12} = \frac{1 + 5}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$$ $$b_2 = \frac{1 - \sqrt{25}}{12} = \frac{1 - 5}{12} = \frac{-4}{12} = -\frac{1}{3}$$

Учитывая ОДЗ, $$b = -\frac{1}{3}$$ не подходит.

Ответ: $$b = \frac{1}{2}$$