Решение уравнения $$4x^4-37x^2+9=0$$

Для решения биквадратного уравнения вида $$ax^4 + bx^2 + c = 0$$ можно ввести замену $$t = x^2$$, где $$t \geq 0$$. Тогда уравнение примет вид квадратного уравнения относительно $$t$$: $$at^2 + bt + c = 0$$. После решения квадратного уравнения нужно вернуться к замене и найти значения $$x$$.

1. Введём замену $$t = x^2$$. Тогда уравнение примет вид: $$4t^2 - 37t + 9 = 0$$
2. Решим квадратное уравнение $$4t^2 - 37t + 9 = 0$$. Вычислим дискриминант:$$D = b^2 - 4ac = (-37)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 1369 - 144 = 1225$$
3. Найдем корни квадратного уравнения:$$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{37 + \sqrt{1225}}{2 \cdot 4} = \frac{37 + 35}{8} = \frac{72}{8} = 9$$$$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{37 - \sqrt{1225}}{2 \cdot 4} = \frac{37 - 35}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$$
4. Вернемся к замене $$t = x^2$$ и решим два уравнения:
   • $$x^2 = 9$$ \Rightarrow $$x = \pm \sqrt{9}$$ \Rightarrow $$x_1 = 3$$, $$x_2 = -3$$
   • $$x^2 = \frac{1}{4}$$ \Rightarrow $$x = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$$ \Rightarrow $$x_3 = \frac{1}{2}$$, $$x_4 = -\frac{1}{2}$$

Ответ: Корни уравнения $$x_1 = 3, x_2 = -3, x_3 = \frac{1}{2}, x_4 = -\frac{1}{2}$$.