Решите уравнения: a) cos x = 1/2 б) sin²x + sinx - 2 = 0 в) 3sin²x - cosx + 1 = 0 Найдите первый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если: a) S = 4, q = -3/4 б) S = (6√6)/5, q = 1/6

Решим уравнения:

а) $$cos x = \frac{1}{2}$$

Это табличное значение. Вспоминаем, что косинус равен 1/2 для угла π/3. Так как косинус - четная функция, то есть $$cos(x) = cos(-x)$$, то решениями будут углы $$\pm \frac{\pi}{3}$$. Общее решение можно записать так: $$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$$, где k - любое целое число.

Ответ: $$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$$

б) $$sin^2 x + sin x - 2 = 0$$ Сделаем замену $$t = sin x$$. Тогда уравнение примет вид: $$t^2 + t - 2 = 0$$ Решим квадратное уравнение. Дискриминант равен: $$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$$ Корни: $$t_1 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 + 3}{2} = 1$$ $$t_2 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 - 3}{2} = -2$$ Возвращаемся к замене: $$sin x = 1$$ или $$sin x = -2$$ Уравнение $$sin x = 1$$ имеет решение $$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$$. Уравнение $$sin x = -2$$ не имеет решений, так как $$|sin x| \le 1$$.

Ответ: $$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$$

в) $$3sin^2 x - cos x + 1 = 0$$ Используем основное тригонометрическое тождество $$sin^2 x + cos^2 x = 1$$, чтобы выразить $$sin^2 x$$ через $$cos^2 x$$: $$sin^2 x = 1 - cos^2 x$$ Подставим это в уравнение: $$3(1 - cos^2 x) - cos x + 1 = 0$$ $$3 - 3cos^2 x - cos x + 1 = 0$$ $$-3cos^2 x - cos x + 4 = 0$$ Умножим на -1: $$3cos^2 x + cos x - 4 = 0$$ Сделаем замену $$t = cos x$$. Тогда уравнение примет вид: $$3t^2 + t - 4 = 0$$ Решим квадратное уравнение. Дискриминант равен: $$D = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 1 + 48 = 49$$ Корни: $$t_1 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 + 7}{6} = \frac{6}{6} = 1$$ $$t_2 = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 - 7}{6} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}$$ Возвращаемся к замене: $$cos x = 1$$ или $$cos x = -\frac{4}{3}$$ Уравнение $$cos x = 1$$ имеет решение $$x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$$. Уравнение $$cos x = -\frac{4}{3}$$ не имеет решений, так как $$|cos x| \le 1$$.

Ответ: $$x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$$

Найдем первый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если:

а) $$S = 4$$, $$q = -\frac{3}{4}$$

Формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: $$S = \frac{b_1}{1 - q}$$, где $$b_1$$ - первый член прогрессии, а q - знаменатель прогрессии.

Подставим данные:

$$4 = \frac{b_1}{1 - (-\frac{3}{4})}$$ $$4 = \frac{b_1}{1 + \frac{3}{4}}$$ $$4 = \frac{b_1}{\frac{7}{4}}$$ $$b_1 = 4 \cdot \frac{7}{4} = 7$$

б) $$S = \frac{6\sqrt{6}}{5}$$, $$q = \frac{1}{6}$$

$$S = \frac{b_1}{1 - q}$$ $$\frac{6\sqrt{6}}{5} = \frac{b_1}{1 - \frac{1}{6}}$$ $$\frac{6\sqrt{6}}{5} = \frac{b_1}{\frac{5}{6}}$$ $$b_1 = \frac{6\sqrt{6}}{5} \cdot \frac{5}{6} = \sqrt{6}$$