Решите уравнения: б) $3 \sin^2 x - 5 \sin x - 2 = 0$ б) $2 \sin^2 x + 3 \cos x = 0$ Решите систему уравнений: в) $\begin{cases} \sin x + \cos y = 1 \\ \sin^2 x - \cos^2 y = 1 \end{cases}$

Здравствуйте, ребята! Сейчас мы разберем решение тригонометрических уравнений и системы уравнений. 1. Решение уравнения б) $3 \sin^2 x - 5 \sin x - 2 = 0$ Это квадратное уравнение относительно $\sin x$. Введем замену $t = \sin x$, тогда уравнение примет вид: $3t^2 - 5t - 2 = 0$ Найдем дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49$ Тогда корни уравнения: $t_1 = \frac{5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 + 7}{6} = \frac{12}{6} = 2$ $t_2 = \frac{5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 - 7}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$ Так как $-1 \le \sin x \le 1$, то $t_1 = 2$ не является решением. Следовательно, $\sin x = -\frac{1}{3}$. $x = (-1)^n \arcsin(-\frac{1}{3}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ $x = (-1)^{n+1} \arcsin(\frac{1}{3}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ Ответ: $x = (-1)^{n+1} \arcsin(\frac{1}{3}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ 2. Решение уравнения б) $2 \sin^2 x + 3 \cos x = 0$ Выразим $\sin^2 x$ через $\cos^2 x$, используя основное тригонометрическое тождество: $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, следовательно, $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$. Подставим в уравнение: $2(1 - \cos^2 x) + 3 \cos x = 0$ $2 - 2 \cos^2 x + 3 \cos x = 0$ $-2 \cos^2 x + 3 \cos x + 2 = 0$ $2 \cos^2 x - 3 \cos x - 2 = 0$ Введем замену $t = \cos x$, тогда уравнение примет вид: $2t^2 - 3t - 2 = 0$ Найдем дискриминант: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$ Тогда корни уравнения: $t_1 = \frac{3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 5}{4} = \frac{8}{4} = 2$ $t_2 = \frac{3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 5}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$ Так как $-1 \le \cos x \le 1$, то $t_1 = 2$ не является решением. Следовательно, $\cos x = -\frac{1}{2}$. $x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2 \pi n, n \in \mathbb{Z}$ $x = \pm \frac{2 \pi}{3} + 2 \pi n, n \in \mathbb{Z}$ Ответ: $x = \pm \frac{2 \pi}{3} + 2 \pi n, n \in \mathbb{Z}$ 3. Решение системы уравнений в) $\begin{cases} \sin x + \cos y = 1 \\ \sin^2 x - \cos^2 y = 1 \end{cases}$ Разложим второе уравнение системы как разность квадратов: $\sin^2 x - \cos^2 y = (\sin x + \cos y)(\sin x - \cos y) = 1$ Так как $\sin x + \cos y = 1$, то $\sin x - \cos y = 1$. Получаем систему: $\begin{cases} \sin x + \cos y = 1 \\ \sin x - \cos y = 1 \end{cases}$ Сложим уравнения системы: $2 \sin x = 2$ $\sin x = 1$ $x = \frac{\pi}{2} + 2 \pi n, n \in \mathbb{Z}$ Подставим значение $\sin x = 1$ в первое уравнение системы: $1 + \cos y = 1$ $\cos y = 0$ $y = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ Ответ: $\begin{cases} x = \frac{\pi}{2} + 2 \pi n, n \in \mathbb{Z} \\ y = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \end{cases}$