Решите задачи из контрольной работы №5 по теме «Теорема Пифагора и начала тригонометрии» (Вариант II). Предоставьте подробное пошаговое решение всех примеров с полным пояснением.

Здравствуйте, ученики! Давайте решим задачи из контрольной работы. **Часть A** **Задача 1:** Катеты прямоугольного треугольника равны 24 см и 7 см. Найдите гипотенузу данного треугольника. *Решение:* Используем теорему Пифагора: $$a^2 + b^2 = c^2$$, где $$a$$ и $$b$$ - катеты, $$c$$ - гипотенуза. $$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{24^2 + 7^2} = \sqrt{576 + 49} = \sqrt{625} = 25$$. *Ответ:* 25 см. **Задача 2:** Сторона прямоугольника равна 15, а диагональ – 17. Найдите другую сторону прямоугольника. *Решение:* Пусть одна сторона прямоугольника $$a = 15$$, а диагональ $$d = 17$$. Вторая сторона $$b$$ является катетом прямоугольного треугольника, где диагональ - гипотенуза. По теореме Пифагора: $$a^2 + b^2 = d^2$$, следовательно, $$b = \sqrt{d^2 - a^2} = \sqrt{17^2 - 15^2} = \sqrt{289 - 225} = \sqrt{64} = 8$$. *Ответ:* 8. **Задача 3:** Найдите катет прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 20 дм, а второй катет равен 16 дм. *Решение:* Пусть гипотенуза $$c = 20$$ дм, катет $$a = 16$$ дм. Нужно найти второй катет $$b$$. По теореме Пифагора: $$a^2 + b^2 = c^2$$, следовательно, $$b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{20^2 - 16^2} = \sqrt{400 - 256} = \sqrt{144} = 12$$. *Ответ:* 12 дм. **Задача 4:** Найдите $$\cos a$$, если $$\sec a = \frac{1}{4}$$. *Решение:* $$\sec a = \frac{1}{\cos a}$$. Следовательно, $$\cos a = \frac{1}{\sec a} = \frac{1}{\frac{1}{4}} = 4$$. *Ответ:* 4 **Задача 5:** Найдите косинус угла A треугольника ABC с прямым углом C, если BC = 21, AC = 20. *Решение:* В прямоугольном треугольнике ABC, где угол C - прямой, косинус угла A равен отношению прилежащего катета к гипотенузе. Сначала найдем гипотенузу AB. $$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{20^2 + 21^2} = \sqrt{400 + 441} = \sqrt{841} = 29$$. $$\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{20}{29}$$. *Ответ:* $$\frac{20}{29}$$. **Часть B** **Задача 6:** Найдите высоту равностороннего треугольника, если его сторона равна 4 см. *Решение:* В равностороннем треугольнике высота также является медианой и биссектрисой. Высота делит треугольник на два равных прямоугольных треугольника. Пусть сторона равна $$a = 4$$ см, а высота $$h$$. По теореме Пифагора: $$h^2 + (\frac{a}{2})^2 = a^2$$ $$h^2 = a^2 - (\frac{a}{2})^2 = a^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{3a^2}{4}$$ $$h = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$$. *Ответ:* $$2\sqrt{3}$$ см. **Задача 7:** Найдите площадь равнобедренной трапеции, если ее меньшее основание равно 7 см, боковая сторона – 13 см, высота – 12 см. *Решение:* Пусть меньшее основание $$b = 7$$ см, боковая сторона $$c = 13$$ см, высота $$h = 12$$ см. Сначала найдем большее основание $$a$$. Опустим высоты из вершин меньшего основания на большее. Тогда отрезок большего основания, заключенный между высотами, равен меньшему основанию. Оставшиеся два отрезка равны, и их можно найти из прямоугольного треугольника, образованного высотой и боковой стороной. Пусть $$x$$ - длина этого отрезка. Тогда $$x = \sqrt{c^2 - h^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5$$. Значит, большее основание $$a = b + 2x = 7 + 2*5 = 7 + 10 = 17$$ см. Площадь трапеции $$S = \frac{a + b}{2} * h = \frac{17 + 7}{2} * 12 = \frac{24}{2} * 12 = 12 * 12 = 144$$. *Ответ:* 144 кв. см. Надеюсь, мои объяснения были понятными! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь спрашивать.