Решите задачи по геометрии:

Конечно, давайте решим задачи по геометрии. **Задача 1 (11.1):** Один из углов прямоугольного треугольника равен 60 градусам. Сумма гипотенузы и меньшего катета равна 78. Найдите гипотенузу треугольника. *Решение:* Пусть гипотенуза равна $$c$$, меньший катет (напротив угла 30 градусов) равен $$a$$, и угол равен 60 градусам. Тогда: 1. $$c + a = 78$$ 2. В прямоугольном треугольнике напротив угла в 30 градусов лежит катет, равный половине гипотенузы. Значит, $$a = \frac{c}{2}$$. Подставим (2) в (1): $$c + \frac{c}{2} = 78$$ $$\frac{3c}{2} = 78$$ $$c = \frac{2 \cdot 78}{3} = 2 \cdot 26 = 52$$ Ответ: Гипотенуза равна 52. **Задача 2 (11.2):** Найдите меньший катет прямоугольного треугольника, если гипотенуза равна 70, а один из углов равен 60°. *Решение:* Пусть гипотенуза $$c = 70$$. Меньший катет находится напротив угла в 30 градусов. Если один из углов равен 60, то другой острый угол равен 30. Меньший катет $$a$$ равен половине гипотенузы. $$a = \frac{c}{2} = \frac{70}{2} = 35$$ Ответ: Меньший катет равен 35. **Задача 3 (11.3):** Один из острых углов прямоугольного треугольника на 36° меньше другого. Найдите углы треугольника. *Решение:* Пусть один угол равен $$x$$, тогда другой равен $$x + 36$$. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам. $$x + x + 36 = 90$$ $$2x = 90 - 36$$ $$2x = 54$$ $$x = 27$$ Тогда углы: 27° и $$27 + 36 = 63$$°. Ответ: Углы равны 27° и 63°. **Задача 4 (11.4):** Острые углы прямоугольного треугольника относятся как 13:17. Найдите эти углы. *Решение:* Пусть углы равны $$13x$$ и $$17x$$. Их сумма равна 90. $$13x + 17x = 90$$ $$30x = 90$$ $$x = 3$$ Тогда углы: $$13 \cdot 3 = 39$$° и $$17 \cdot 3 = 51$$°. Ответ: Углы равны 39° и 51°. **Задача 5 (11.5):** Один из углов прямоугольного треугольника равен 30 градусам. Разность гипотенузы и меньшего из катетов равна 22. Найдите гипотенузу треугольника. *Решение:* Пусть гипотенуза равна $$c$$, меньший катет (напротив угла 30 градусов) равен $$a$$. Тогда: 1. $$c - a = 22$$ 2. $$a = \frac{c}{2}$$ Подставим (2) в (1): $$c - \frac{c}{2} = 22$$ $$\frac{c}{2} = 22$$ $$c = 44$$ Ответ: Гипотенуза равна 44. **Задача 1 (13.1):** Один из углов прямоугольного треугольника равен 60 градусам. Сумма гипотенузы и меньшего катета равна 117. Найдите гипотенузу треугольника. *Решение:* Пусть гипотенуза равна $$c$$, меньший катет (напротив угла 30 градусов) равен $$a$$, и угол равен 60 градусам. Тогда: 1. $$c + a = 117$$ 2. В прямоугольном треугольнике напротив угла в 30 градусов лежит катет, равный половине гипотенузы. Значит, $$a = \frac{c}{2}$$. Подставим (2) в (1): $$c + \frac{c}{2} = 117$$ $$\frac{3c}{2} = 117$$ $$c = \frac{2 \cdot 117}{3} = 2 \cdot 39 = 78$$ Ответ: Гипотенуза равна 78.