Решите задачу №8: К гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC с углом \( \angle B = 15^{\circ} \) проведены медиана CM и высота CH. Найдите AB, если CH = 4.

Давайте решим задачу по геометрии. 1. Анализ условия * Дано: \( \triangle ABC \) - прямоугольный, \( \angle B = 15^{\circ} \), CH - высота, CM - медиана, CH = 4. * Найти: AB. 2. Вспоминаем свойства прямоугольного треугольника * В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. То есть, \( CM = AM = MB = \frac{1}{2} AB \). * Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°. Значит, \( \angle A = 90^{\circ} - \angle B = 90^{\circ} - 15^{\circ} = 75^{\circ} \). 3. Рассмотрим \( \triangle CHB \) * \( \triangle CHB \) - прямоугольный (CH - высота). * \( \angle HCB = 90^{\circ} - \angle B = 90^{\circ} - 15^{\circ} = 75^{\circ} \). 4. Рассмотрим \( \triangle CMA \) * Так как CM = AM, то \( \triangle CMA \) - равнобедренный. * \( \angle MCA = \angle MAC = \angle A = 75^{\circ} \). 5. Найдем \( \angle HCM \) * \( \angle HCM = \angle MCA - \angle HCA \) * \( \angle HCA = 90^{\circ} - \angle A = 90^{\circ} - 75^{\circ} = 15^{\circ} \) * \( \angle HCM = 75^{\circ} - 15^{\circ} = 60^{\circ} \) 6. Рассмотрим \( \triangle CHM \) * \( \triangle CHM \) - прямоугольный (CH - высота). * \( angle CMH = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} \) 7. Найдем CM В прямоугольном треугольнике CHM, катет CH, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы CM, отсюда: \( CH = \frac{1}{2} CM \) \( CM = 2 \cdot CH = 2 \cdot 4 = 8 \) 8. Найдем AB Поскольку \( CM = \frac{1}{2} AB \), то \( AB = 2 \cdot CM = 2 \cdot 8 = 16 \) Ответ: \(AB = 16\) Развернутый ответ: В этой задаче мы использовали свойства прямоугольного треугольника, равнобедренного треугольника и соотношения углов. Важным моментом было понимание, что медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна половине этой гипотенузы. Также мы активно применяли знания о сумме углов в треугольнике и о том, что катет, лежащий против угла в 30 градусов в прямоугольном треугольнике, равен половине гипотенузы. Таким образом, мы шаг за шагом пришли к ответу, что гипотенуза AB равна 16.