Решите задачу 24: Площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы равна 6. Найдите высоту призмы, если прямая, проходящая через центр верхнего основания и середину стороны нижнего основания, наклонена к плоскости основания под углом 60°.

Разберем решение задачи по геометрии. Пусть дана правильная треугольная призма $$ABCA_1B_1C_1$$. Площадь боковой поверхности $$S_{бок} = 6$$. Необходимо найти высоту призмы $$AA_1$$, если прямая, проходящая через центр верхнего основания (точка $$O_1$$) и середину стороны нижнего основания (точка $$M$$), наклонена к плоскости основания под углом 60°. 1. Так как призма правильная треугольная, то в основании лежит равносторонний треугольник. Пусть сторона основания равна $$a$$, а высота призмы равна $$h$$. 2. Площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей трех боковых граней. Поскольку призма правильная, боковые грани – равные прямоугольники. Тогда $$S_{бок} = 3ah = 6$$, откуда $$ah = 2$$. 3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$O_1MO$$, где $$O_1$$ – центр верхнего основания, $$M$$ – середина стороны $$BC$$ нижнего основания, $$O$$ – проекция точки $$O_1$$ на плоскость нижнего основания (то есть, центр нижнего основания). 4. Угол $$O_1MO = 60°$$ по условию. $$OM$$ – это отрезок, соединяющий центр равностороннего треугольника с серединой стороны. Известно, что $$OM = \frac{1}{3} AM$$, где $$AM$$ – высота равностороннего треугольника, проведенная к стороне $$BC$$. 5. Высота равностороннего треугольника $$AM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$. Следовательно, $$OM = \frac{1}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$$. 6. В прямоугольном треугольнике $$O_1MO$$ имеем: $$\tan(60°) = \frac{O_1O}{OM} = \frac{h}{OM}$$. Следовательно, $$h = OM \cdot \tan(60°) = \frac{a\sqrt{3}}{6} \cdot \sqrt{3} = \frac{3a}{6} = \frac{a}{2}$$. 7. Выразим $$a$$ через $$h$$: $$a = 2h$$. Подставим это в уравнение $$ah = 2$$: $$(2h)h = 2$$, $$2h^2 = 2$$, $$h^2 = 1$$. Так как $$h > 0$$, то $$h = 1$$. **Ответ: Высота призмы равна 1.**