Решите задачу 240: В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведена биссектриса AD. Найдите углы этого треугольника, если \(\angle ADB = 110^\circ\).

Здравствуйте, ученики! Давайте решим задачу 240 вместе. **Условие задачи:** В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведена биссектриса AD. Найдите углы этого треугольника, если \(\angle ADB = 110^\circ\). **Решение:** 1. **Анализ условия:** * Треугольник ABC равнобедренный, значит, углы при основании AC равны: \(\angle BAC = \angle BCA\). * AD - биссектриса угла BAC, следовательно, \(\angle BAD = \angle CAD\). * Известно, что \(\angle ADB = 110^\circ\). 2. **Найдем \(\angle DAB\):** В треугольнике ADB сумма углов равна 180°. Значит, \(\angle DAB = 180^\circ - \angle ADB - \angle DBA\). Подставим известные значения: \(\angle DAB = 180^\circ - 110^\circ - \angle DBA = 70^\circ - \angle DBA\). 3. **Выразим \(\angle ABC\):** \(\angle ABC = \angle DBA\) (так как это один и тот же угол). 4. **Найдем \(\angle BAC\):** Так как AD - биссектриса, то \(\angle BAC = 2 \cdot \angle DAB = 2 \cdot (70^\circ - \angle ABC) = 140^\circ - 2 \cdot \angle ABC\). 5. **Используем свойство равнобедренного треугольника:** \(\angle BAC = \angle BCA\). 6. **Используем теорему о сумме углов треугольника ABC:** \(\angle BAC + \angle BCA + \angle ABC = 180^\circ\). Подставим известные значения: \((140^\circ - 2 \cdot \angle ABC) + (140^\circ - 2 \cdot \angle ABC) + \angle ABC = 180^\circ\). Упростим уравнение: \(280^\circ - 3 \cdot \angle ABC = 180^\circ\). Решим уравнение: \(3 \cdot \angle ABC = 100^\circ\), следовательно, \(\angle ABC = \frac{100}{3}^\circ = 33\frac{1}{3}^\circ\). 7. **Найдем \(\angle BAC\) и \(\angle BCA\):** \(\angle BAC = \angle BCA = 140^\circ - 2 \cdot \angle ABC = 140^\circ - 2 \cdot 33\frac{1}{3}^\circ = 140^\circ - 66\frac{2}{3}^\circ = 73\frac{1}{3}^\circ\). **Ответ:** Углы треугольника ABC равны: \(\angle A = 73\frac{1}{3}^\circ\), \(\angle B = 33\frac{1}{3}^\circ\), \(\angle C = 73\frac{1}{3}^\circ\).