Решите задачу №15: В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 12, \(tgA = \frac{2\sqrt{10}}{3}\). Найдите AB.

Решение: Дано: Прямоугольный треугольник ABC, \(\angle C = 90^\circ\), AC = 12, \(tgA = \frac{2\sqrt{10}}{3}\). Найти: AB. 1. В прямоугольном треугольнике ABC, тангенс угла A равен отношению противолежащего катета (BC) к прилежащему катету (AC): \(tgA = \frac{BC}{AC}\) 2. Подставим известные значения: \(\frac{2\sqrt{10}}{3} = \frac{BC}{12}\) 3. Выразим BC: \(BC = \frac{2\sqrt{10}}{3} \cdot 12 = 8\sqrt{10}\) 4. Теперь, когда известны длины катетов AC и BC, можем найти гипотенузу AB по теореме Пифагора: \(AB^2 = AC^2 + BC^2\) \(AB^2 = 12^2 + (8\sqrt{10})^2\) \(AB^2 = 144 + 64 \cdot 10\) \(AB^2 = 144 + 640\) \(AB^2 = 784\) 5. Найдем AB, извлекая квадратный корень: \(AB = \sqrt{784} = 28\) Ответ: 28