Решите задачу: Боковая сторона равнобедренного треугольника \(ABC\) равна 3, а основание \(AC\) равно 2. В этом треугольнике провели биссектрисы \(AL\) и \(CM\). Найдите длину отрезка \(LM\).

Привет, ребята! Давайте решим эту интересную задачу вместе. **Условие задачи:** Дан равнобедренный треугольник \(ABC\) с боковыми сторонами \(AB = BC = 3) и основанием \(AC = 2\). Биссектрисы углов \(A) и \(C) - это отрезки \(AL) и \(CM) соответственно. Необходимо найти длину отрезка \(LM\). **Решение:** 1. **Применим теорему о биссектрисе угла треугольника:** В треугольнике \(ABC) биссектриса \(CM) делит сторону \(AB) на отрезки \(AM) и \(MB) пропорционально прилежащим сторонам. Следовательно, \[\frac{AM}{MB} = \frac{AC}{BC} = \frac{2}{3}\] Пусть \(AM = 2x\) и \(MB = 3x\). Тогда \(AB = AM + MB = 2x + 3x = 5x = 3\). Отсюда, \(x = \frac{3}{5}\), и \(AM = 2x = \frac{6}{5}\). 2. **Аналогично для биссектрисы \(AL\):** Биссектриса \(AL) делит сторону \(BC) на отрезки \(BL) и \(LC) пропорционально прилежащим сторонам. Следовательно, \[\frac{BL}{LC} = \frac{AB}{AC} = \frac{3}{2}\] Пусть \(BL = 3y\) и \(LC = 2y\). Тогда \(BC = BL + LC = 3y + 2y = 5y = 3\). Отсюда, \(y = \frac{3}{5}\), и \(LC = 2y = \frac{6}{5}\). 3. **Заметим, что треугольник \(LBM) подобен треугольнику \(ABC\):** Действительно, \(\angle B) - общий, а так как \(\frac{BL}{BA} = \frac{3/5}{3} = \frac{1}{5}\) и \(\frac{BM}{BC} = \frac{3/5}{3} = \frac{1}{5}\), то \(\frac{BL}{BA} = \frac{BM}{BC}\). Следовательно, треугольники \(LBM) и \(ABC) подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними. 4. **Найдем коэффициент подобия \(k\):** Коэффициент подобия \(k = \frac{BL}{BA} = \frac{1}{5}\). 5. **Найдем длину отрезка \(LM\):** Так как треугольники подобны, то \(LM = k cdot AC = \frac{1}{5} cdot 2 = \frac{2}{5}\). Таким образом, длина отрезка \(LM = \frac{2}{5} = 0.4\). **Ответ: 0.4** __Разъяснение для школьников:__ Чтобы решить эту задачу, нужно понять, как биссектриса делит сторону треугольника. Мы использовали теорему о биссектрисе, чтобы найти отрезки \(AM) и \(LC\). Затем доказали, что маленький треугольник \(LBM) похож на большой треугольник \(ABC\). Это позволило нам найти длину отрезка \(LM\), используя коэффициент подобия.