Решите задачу: Диагональ AC трапеции ABCD (AB||CD) делит её на два подобных треугольника. Найдите площадь трапеции ABCD, если AB = 25, BC = 20, AC = 15.

Здравствуйте, ученики! Давайте решим эту задачу вместе. **1. Анализ условия и построение чертежа:** У нас есть трапеция ABCD, где AB параллельна CD. Диагональ AC делит трапецию на два подобных треугольника: \(\triangle ABC\) и \(\triangle CAD\). Нам известны длины сторон: AB = 25, BC = 20, AC = 15. **2. Определение коэффициента подобия:** Так как \(\triangle ABC\) и \(\triangle CAD\) подобны, можем записать отношение соответствующих сторон. Заметим, что AC соответствует AB, BC соответствует AC. Тогда коэффициент подобия k: \[k = \frac{AC}{AB} = \frac{15}{25} = \frac{3}{5}\] **3. Нахождение стороны CD:** Поскольку \(\triangle ABC \sim \triangle CAD\), то: \[\frac{CD}{AC} = k\] Отсюда: \[CD = AC \cdot k = 15 \cdot \frac{3}{5} = 9\] **4. Нахождение высоты трапеции:** Для нахождения высоты трапеции, сначала найдем высоту \(\triangle ABC\). Площадь \(\triangle ABC\) можно найти по формуле Герона: \[p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{25 + 20 + 15}{2} = 30\] \[S_{\triangle ABC} = \sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-AC)} = \sqrt{30(30-25)(30-20)(30-15)} = \sqrt{30 \cdot 5 \cdot 10 \cdot 15} = \sqrt{22500} = 150\] Теперь найдем высоту \(h\) треугольника, опущенную на сторону AB: \[S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h\] \[150 = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot h\] \[h = \frac{150 \cdot 2}{25} = 12\] **5. Нахождение площади трапеции:** Площадь трапеции находится по формуле: \[S_{ABCD} = \frac{AB + CD}{2} \cdot h\] Подставляем значения: \[S_{ABCD} = \frac{25 + 9}{2} \cdot 12 = \frac{34}{2} \cdot 12 = 17 \cdot 12 = 204\] **Ответ:** Площадь трапеции ABCD равна 204. Надеюсь, теперь решение понятно. Если есть вопросы, задавайте!