8. Решите задачу и запишите развернутое решение и ответ: У Маши есть 5 видов фруктов: яблоки, груши, бананы, апельсины и мандарины. Она хочет взять с собой в школу 3 разных фрукта, причём обязательно должен быть хотя бы один цитрусовый (апельсин или мандарин). Сколько у неё есть вариантов выбрать фрукты?

Разберем возможные варианты выбора фруктов: 1. Один цитрусовый фрукт и два других фрукта: * Маша может выбрать один из двух цитрусовых фруктов (апельсин или мандарин) - это 2 варианта. * Оставшиеся 2 фрукта нужно выбрать из оставшихся 3 нецитрусовых фруктов (яблоки, груши, бананы). Количество способов выбрать 2 фрукта из 3 равно $$C(3, 2) = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1)(1)} = 3$$ варианта. * Общее количество вариантов для этого случая: $$2 \cdot 3 = 6$$ вариантов. 2. Два цитрусовых фрукта и один другой фрукт: * Маша может выбрать оба цитрусовых фрукта (апельсин и мандарин) - это 1 вариант. * Оставшийся 1 фрукт нужно выбрать из оставшихся 3 нецитрусовых фруктов (яблоки, груши, бананы) - это 3 варианта. * Общее количество вариантов для этого случая: $$1 \cdot 3 = 3$$ варианта. Теперь сложим количество вариантов из обоих случаев, чтобы получить общее количество возможных вариантов выбора фруктов: $$6 + 3 = 9$$ вариантов. Ответ: 9 вариантов