Решите задачу из учебника: Радиусы двух окружностей равны 12 см и 16 см. Расстояние между их центрами равно 24 см. Сколько общих точек имеют эти окружности? a) Одну; б) две; в) три; г) ни одной.

Для решения этой задачи, нам нужно сравнить расстояние между центрами окружностей с суммой и разностью их радиусов. Пусть ( R ) - радиус большей окружности, ( r ) - радиус меньшей окружности, а ( d ) - расстояние между их центрами. Дано: ( R = 16 ) см ( r = 12 ) см ( d = 24 ) см Сначала найдем сумму радиусов: ( R + r = 16 + 12 = 28 ) см Затем найдем разность радиусов: ( R - r = 16 - 12 = 4 ) см Теперь сравним расстояние между центрами с суммой и разностью радиусов: Если ( d > R + r ), то окружности не имеют общих точек. Если ( d = R + r ), то окружности касаются внешним образом и имеют одну общую точку. Если ( R - r < d < R + r ), то окружности пересекаются и имеют две общие точки. Если ( d = R - r ), то окружности касаются внутренним образом и имеют одну общую точку. Если ( d < R - r ), то одна окружность находится внутри другой и они не имеют общих точек. Если ( d = 0 ), то центры окружностей совпадают. В нашем случае: ( d = 24 ) см ( R + r = 28 ) см ( R - r = 4 ) см Так как ( R - r < d < R + r ) (то есть ( 4 < 24 < 28 )), окружности пересекаются и имеют две общие точки. Ответ: б) две. Объяснение для ученика: Представь себе две окружности. Одна чуть больше другой. Если расстояние между их центрами достаточно большое, то они вообще не будут пересекаться (как два острова далеко друг от друга). Если мы начнем сближать эти окружности, то в какой-то момент они коснутся друг друга только в одной точке – это называется касанием. Если продолжить сближать их, они начнут пересекаться, как два кольца, надетые друг на друга – у них будет две общие точки. И, наконец, если сближать их еще больше, маленькая окружность окажется внутри большой, и они снова могут коснуться в одной точке (касание изнутри) или вообще не иметь общих точек, если маленькая окружность будет полностью внутри большой и не будет ее касаться. Чтобы понять, сколько общих точек имеют окружности в нашей задаче, мы сравнили расстояние между их центрами с тем, насколько они большие (сумма их радиусов) и насколько одна больше другой (разность их радиусов). Выяснилось, что расстояние между центрами меньше, чем если бы они просто касались друг друга снаружи, но больше, чем если бы маленькая окружность касалась большой изнутри. Это значит, что окружности пересекаются и имеют две общие точки.