Решите задачу. Лодка плыла по течению реки 3 ч и против течения реки 4 ч, проплыв за это время 82 км. Найти собственную скорость лодки, если скорость течения реки 2 км/ч.

Пусть собственная скорость лодки равна \(v\) км/ч. Тогда скорость по течению — \(v+2\) км/ч, а против течения — \(v-2\) км/ч.

Расстояние равно произведению скорости на время. Составим уравнение для общего пути:

\(3(v+2)+4(v-2)=82\).

Раскроем скобки и упростим: \(3v+6+4v-8=82\), откуда \(7v-2=82\).

\(7v=84\), поэтому \(v=12\).

Проверка: по течению лодка прошла \(14\cdot3=42\) км, против течения — \(10\cdot4=40\) км; всего \(42+40=82\) км.

Ответ: собственная скорость лодки — 12 км/ч.