Решите задачу: Меньшая диагональ ромба, равная 13, разбивает его на два равных треугольника. Найдите радиус окружности, описанной около полученного треугольника, если высота ромба равна 12. Ответ округлите до целых.

Рассмотрим ромб $$ABCD$$, где $$AC = 13$$ - меньшая диагональ. Так как диагональ делит ромб на два равных треугольника, то треугольник $$ABC$$ - равнобедренный, где $$AB=BC$$. Пусть $$h$$ - высота ромба, опущенная из вершины $$B$$ на сторону $$AD$$ (или $$DC$$). Дано, что $$h=12$$. 1. **Найдем сторону ромба $$AB$$:** Площадь ромба можно найти двумя способами: * $$S = AD cdot h = AB cdot 12$$ * $$S = 2 cdot S_{\triangle ABC}$$ Площадь треугольника $$ABC$$ можно найти по формуле Герона: $$S_{\triangle ABC} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$, где $$p$$ - полупериметр треугольника, а $$a, b, c$$ - его стороны. В нашем случае $$a=b=AB$$, $$c=13$$, и $$p = \frac{AB + AB + 13}{2} = AB + \frac{13}{2}$$. Также площадь треугольника можно найти как $$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} cdot AC cdot h_{AC}$$, где $$h_{AC}$$ - высота, опущенная на сторону $$AC$$. Так как треугольник равнобедренный, высота, опущенная на основание, является и медианой. Но для нахождения $$AB$$ используем другой подход. С другой стороны, площадь ромба можно выразить через площадь треугольника $$ABC$$: $$S_{ромба} = 2 S_{\triangle ABC}$$. Выразим площадь треугольника через полупериметр и стороны. Но это приведет к сложным вычислениям. Воспользуемся тем, что площадь ромба равна $$AD cdot h$$, где $$h = 12$$. Также площадь ромба равна $$2S_{\triangle ABC}$$. Следовательно, $$AD cdot 12 = 2S_{\triangle ABC}$$. Но $$AD = AB$$, так как это сторона ромба. Тогда $$12AB = 2S_{\triangle ABC}$$, а $$S_{\triangle ABC} = 6AB$$. Радиус описанной окружности $$R$$ вокруг треугольника $$ABC$$ можно найти по формуле: $$R = \frac{abc}{4S_{\triangle ABC}}$$, где $$a, b, c$$ - стороны треугольника. В нашем случае $$a=b=AB$$, $$c=13$$. Тогда $$R = \frac{AB cdot AB cdot 13}{4 cdot 6AB} = \frac{13AB}{24}$$. Чтобы найти $$AB$$, воспользуемся формулой площади ромба $$S = a^2 \cdot sin(\alpha)$$, где $$a$$ - сторона ромба и $$\alpha$$ - угол ромба. Но нам это ничего не даст. Рассмотрим треугольник, образованный половиной диагонали $$AC$$ и высотой ромба. Обозначим половину диагонали как $$x = 13/2 = 6.5$$. Тогда $$AB^2 = h^2 + x^2$$, где x - проекция стороны ромба на диагональ. $$AB^2 = 12^2 + 6.5^2 = 144 + 42.25 = 186.25$$ $$AB = \sqrt{186.25} = 13.647...$$ Тогда $$R = \frac{13 \cdot 13.647}{24} = \frac{177.411}{24} = 7.392$$ Округлим до целых: $$R \approx 7$$ **Ответ:** 7