Решите задачу на фото: найдите косинус угла A и площадь треугольника ABC, где CA = 15 см, CB = 36 см, AB = 39 см.

Здравствуйте, ученики! Давайте решим эту задачу вместе. Нам даны стороны треугольника ABC: CA = 15 см, CB = 36 см, AB = 39 см. Наша цель - найти косинус угла A и площадь этого треугольника. **a) Находим косинус угла A:** Для этого воспользуемся теоремой косинусов. Теорема косинусов связывает стороны и один из углов треугольника. Для угла A она выглядит так: $$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 cdot AB cdot AC cdot cosA$$ Подставим известные значения: $$36^2 = 39^2 + 15^2 - 2 cdot 39 cdot 15 cdot cosA$$ $$1296 = 1521 + 225 - 1170 cdot cosA$$ $$1296 = 1746 - 1170 cdot cosA$$ $$1170 cdot cosA = 1746 - 1296$$ $$1170 cdot cosA = 450$$ $$cosA = \frac{450}{1170}$$ Теперь сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 90: $$cosA = \frac{450 : 90}{1170 : 90} = \frac{5}{13}$$ Итак, $$cosA = \frac{5}{13}$$. **б) Находим площадь треугольника ABC:** Для нахождения площади треугольника, когда известны все три стороны, удобно использовать формулу Герона: $$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$, где $$a, b, c$$ - стороны треугольника, а $$p$$ - полупериметр, вычисляемый как $$p = \frac{a+b+c}{2}$$. В нашем случае $$a = 15$$, $$b = 36$$, $$c = 39$$. Сначала найдем полупериметр: $$p = \frac{15 + 36 + 39}{2} = \frac{90}{2} = 45$$ Теперь подставим значение полупериметра и длин сторон в формулу Герона: $$S = \sqrt{45(45-15)(45-36)(45-39)} = \sqrt{45 cdot 30 cdot 9 cdot 6} = \sqrt{45 cdot 30 cdot 54} = \sqrt{25 cdot 9 cdot 6 cdot 5 cdot 6} = \sqrt{5^2 cdot 3^2 cdot 6^2 cdot 5} = 5 cdot 3 cdot 6 \sqrt{5} = 90 \sqrt{5}$$ Факторизуем число под корнем $$45*30*9*6=25*9*54*6 = 25 * 9 * 9 * 6 * 6 = (5*3*6)^2 = 90^2$$. Тогда $$S = \sqrt{45 * 30 * 9 * 6} = \sqrt{72900} = 270$$. Итак, площадь треугольника ABC равна 270 квадратных сантиметров. **Ответ:** a) $$cos A = \frac{5}{13}$$ б) $$S_{ABC} = 270 \, \text{см}^2$$ Надеюсь, это объяснение было полезным и понятным!