Решите задачу нахождения производной функции, представленной на изображении.

Здравствуйте, ребята! Давайте разберем решение задачи о нахождении производной функции. **Условие задания:** Вычислить производную функции ( f(x) = \log_7 x + 19 \log_{10} x ). **Решение:** Нам нужно найти производную ( f'(x) ). Вспомним формулы производных логарифмических функций: 1. ( (\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a} ) 2. ( (C \cdot f(x))' = C \cdot f'(x) ), где C - константа Теперь применим эти формулы к нашей функции: * Первый член: ( \log_7 x ). Его производная равна ( \frac{1}{x \ln 7} ). * Второй член: ( 19 \log_{10} x ). Его производная равна ( 19 \cdot \frac{1}{x \ln 10} = \frac{19}{x \ln 10} ). Следовательно, производная исходной функции будет суммой производных этих двух членов: \[ f'(x) = \frac{1}{x \ln 7} + \frac{19}{x \ln 10} \] Таким образом, нам нужно заполнить пропуски в выражении для ( f'(x) ): \[ f'(x) = \frac{1}{x \ln \boxed{7}} + \frac{\boxed{19}}{x \ln \boxed{10}} \] **Ответ:** \[ f'(x) = \frac{1}{x \ln 7} + \frac{19}{x \ln 10} \] Надеюсь, теперь вам понятно, как решать подобные задачи! Если у вас возникнут еще вопросы, обращайтесь. **Развернутый ответ для школьника:** Представь, что у тебя есть функция, которая состоит из двух частей: логарифма по основанию 7 и логарифма по основанию 10, умноженного на 19. Чтобы найти производную этой функции, нужно найти производную каждой части по отдельности и сложить их вместе. Производная логарифма по основанию 7 - это 1, деленное на x и на натуральный логарифм 7. А производная логарифма по основанию 10, умноженного на 19, - это 19, деленное на x и на натуральный логарифм 10. Складываем эти две производные вместе, и получаем окончательный ответ.