Решите задачу: Найдите \(\sin x\), если \(\cos x = -\frac{\sqrt{21}}{5}\) и \(90^\circ < x < 180^\circ\).

Для решения этой задачи мы будем использовать основное тригонометрическое тождество и информацию об угле \(x\). 1. **Основное тригонометрическое тождество**: \[ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \] 2. **Выразим \(\sin^2 x\) через \(\cos x\)**: \[ \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \] 3. **Подставим значение \(\cos x\)**: \[ \sin^2 x = 1 - \left(-\frac{\sqrt{21}}{5}\right)^2 \] \[ \sin^2 x = 1 - \frac{21}{25} \] \[ \sin^2 x = \frac{25}{25} - \frac{21}{25} \] \[ \sin^2 x = \frac{4}{25} \] 4. **Найдем \(\sin x\)**: \[ \sin x = \pm\sqrt{\frac{4}{25}} \] \[ \sin x = \pm\frac{2}{5} \] 5. **Определим знак \(\sin x\)**: По условию, \(90^\circ < x < 180^\circ\). Это вторая четверть, где синус положителен. Следовательно, \[ \sin x = \frac{2}{5} \] **Ответ: \(\sin x = \frac{2}{5}\)** **Развёрнутый ответ для ученика:** Привет! Давай разберемся с этой задачей шаг за шагом. 1. **Что нам дано?** Нам известно значение косинуса угла \(x\) и то, что угол \(x\) находится во второй четверти (между 90 и 180 градусами). 2. **Что нужно найти?** Нам нужно найти значение синуса этого угла \(x\). 3. **Как будем решать?** * Вспомним основное тригонометрическое тождество: \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\). Это как теорема Пифагора для тригонометрии! * Выразим \(\sin^2 x\) из этого тождества: \(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x\). * Подставим известное значение \(\cos x\) и посчитаем. * Извлечем квадратный корень, чтобы найти \(\sin x\). Но помним, что корень может быть как положительным, так и отрицательным. * Определим знак \(\sin x\), учитывая, что угол \(x\) находится во второй четверти, где синус всегда положителен. 4. **Решение:** * Подставляем \(\cos x = -\frac{\sqrt{21}}{5}\) в формулу: \(\sin^2 x = 1 - \left(-\frac{\sqrt{21}}{5}\right)^2\). * Получаем: \(\sin^2 x = 1 - \frac{21}{25} = \frac{4}{25}\). * Извлекаем корень: \(\sin x = \pm\sqrt{\frac{4}{25}} = \pm\frac{2}{5}\). * Так как \(x\) во второй четверти, выбираем положительное значение: \(\sin x = \frac{2}{5}\). 5. **Итог:** Мы нашли, что \(\sin x = \frac{2}{5}\). Важно помнить, что знак синуса зависит от того, в какой четверти находится угол!