Решите задачу: Найдите трёхзначные числа, кратные 25, все цифры которых различны, а сумма квадратов этих же цифр делится на 3, но не делится на 9. В ответе напишите ВСЕ возможные числа, перечислив их по возрастанию, через запятую, без пробелов.

Здравствуйте, ученик! Давайте разберемся с этой задачей. 1. Определение возможных чисел: - Число должно быть трехзначным и кратным 25. Следовательно, оно может заканчиваться на 00, 25, 50 или 75. Так как все цифры должны быть различны, 00 отпадает. - Рассмотрим возможные варианты: - _25 - _50 - _75 2. Анализ вариантов и условие делимости на 3 и 9: - Сумма квадратов цифр должна делиться на 3, но не делиться на 9. - Вспомним признаки делимости: - Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. - Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. 3. Рассмотрим числа, заканчивающиеся на 25 (_25): - Пусть число будет x25. Тогда сумма квадратов цифр: ( x^2 + 2^2 + 5^2 = x^2 + 4 + 25 = x^2 + 29 ) - Нам нужно, чтобы ( x^2 + 29 ) делилось на 3, но не делилось на 9. Подберем возможные значения для x, учитывая, что x ≠ 2 и x ≠ 5: - Если x = 1: ( 1^2 + 29 = 30 ). 30 делится на 3 (30/3 = 10) и не делится на 9. - Если x = 4: ( 4^2 + 29 = 16 + 29 = 45 ). 45 делится на 3 (45/3 = 15) и делится на 9 (45/9 = 5), не подходит. - Если x = 7: ( 7^2 + 29 = 49 + 29 = 78 ). 78 делится на 3 (78/3 = 26) и не делится на 9. - Если x = 8: ( 8^2 + 29 = 64 + 29 = 93 ). 93 делится на 3 (93/3 = 31) и не делится на 9. - Если x = 0, 3, 6, 9: они не удовлетворяют условию. - Получаем числа: 125, 725, 825. 4. Рассмотрим числа, заканчивающиеся на 50 (_50): - Пусть число будет x50. Тогда сумма квадратов цифр: ( x^2 + 5^2 + 0^2 = x^2 + 25 ) - Нам нужно, чтобы ( x^2 + 25 ) делилось на 3, но не делилось на 9. Подберем возможные значения для x, учитывая, что x ≠ 5 и x ≠ 0: - Если x = 1: ( 1^2 + 25 = 26 ). 26 не делится на 3, не подходит. - Если x = 2: ( 2^2 + 25 = 29 ). 29 не делится на 3, не подходит. - Если x = 3: ( 3^2 + 25 = 34 ). 34 не делится на 3, не подходит. - Если x = 4: ( 4^2 + 25 = 41 ). 41 не делится на 3, не подходит. - Если x = 6: ( 6^2 + 25 = 61 ). 61 не делится на 3, не подходит. - Если x = 7: ( 7^2 + 25 = 74 ). 74 не делится на 3, не подходит. - Если x = 8: ( 8^2 + 25 = 89 ). 89 не делится на 3, не подходит. - Если x = 9: ( 9^2 + 25 = 106 ). 106 не делится на 3, не подходит. - Здесь нет подходящих чисел. 5. Рассмотрим числа, заканчивающиеся на 75 (_75): - Пусть число будет x75. Тогда сумма квадратов цифр: ( x^2 + 7^2 + 5^2 = x^2 + 49 + 25 = x^2 + 74 ) - Нам нужно, чтобы ( x^2 + 74 ) делилось на 3, но не делилось на 9. Подберем возможные значения для x, учитывая, что x ≠ 7 и x ≠ 5: - Если x = 1: ( 1^2 + 74 = 75 ). 75 делится на 3 (75/3 = 25) и не делится на 9. - Если x = 2: ( 2^2 + 74 = 78 ). 78 делится на 3 (78/3 = 26) и не делится на 9. - Если x = 3: ( 3^2 + 74 = 83 ). 83 не делится на 3, не подходит. - Если x = 4: ( 4^2 + 74 = 90 ). 90 делится на 3 и делится на 9, не подходит. - Если x = 6: ( 6^2 + 74 = 110 ). 110 не делится на 3, не подходит. - Если x = 8: ( 8^2 + 74 = 138 ). 138 делится на 3 (138/3 = 46) и не делится на 9. - Если x = 9: ( 9^2 + 74 = 155 ). 155 не делится на 3, не подходит. - Получаем числа: 175, 275, 875. 6. Собираем все возможные числа в порядке возрастания: - 125, 175, 275, 725, 825, 875. Ответ: 125,175,275,725,825,875