Решите задачу: Однородный шар диаметром 3 см весит 162 грамма. Сколько граммов весит шар диаметром 2 см, изготовленный из того же материала?

Давайте решим эту задачу по шагам. 1. **Вспомним формулу объема шара:** Объем шара (V) выражается формулой: \[V = \frac{4}{3} \pi r^3\] где (r) – радиус шара. 2. **Найдем радиусы шаров:** - Для шара с диаметром 3 см радиус (r_1 = \frac{3}{2} = 1.5) см. - Для шара с диаметром 2 см радиус (r_2 = \frac{2}{2} = 1) см. 3. **Найдем объемы шаров:** - Объем первого шара: \[V_1 = \frac{4}{3} \pi (1.5)^3 = \frac{4}{3} \pi (3.375) = 4.5\pi \text{ см}^3\] - Объем второго шара: \[V_2 = \frac{4}{3} \pi (1)^3 = \frac{4}{3} \pi \text{ см}^3\] 4. **Найдем отношение объемов:** \[\frac{V_1}{V_2} = \frac{4.5\pi}{\frac{4}{3}\pi} = \frac{4.5}{\frac{4}{3}} = 4.5 \cdot \frac{3}{4} = \frac{13.5}{4} = 3.375\] Это означает, что объем первого шара в 3.375 раза больше объема второго шара. 5. **Найдем вес второго шара:** Так как шары изготовлены из одного и того же материала, их вес пропорционален объему. Пусть вес второго шара (m_2). \[\frac{m_1}{m_2} = \frac{V_1}{V_2}\] Мы знаем, что (m_1 = 162) грамма. Подставим значения: \[\frac{162}{m_2} = 3.375\] Отсюда: \[m_2 = \frac{162}{3.375} = 48\ \text{ грамм}\] **Ответ:** Вес шара диаметром 2 см составляет 48 граммов. **Развёрнутый ответ для школьника:** Представь, что у тебя есть два шарика из одного и того же материала. Один шарик больше, другой меньше. Большой шарик (диаметром 3 см) весит 162 грамма. Нам нужно узнать, сколько весит маленький шарик (диаметром 2 см). Поскольку оба шарика сделаны из одного и того же материала, вес каждого шарика зависит от его размера (объема). Чем больше шарик, тем больше его объем, и тем больше он весит. Мы можем сравнить объемы шариков, используя формулу объема шара. После того, как мы узнаем, во сколько раз объем большого шарика больше объема маленького, мы сможем узнать, во сколько раз вес большого шарика больше веса маленького. А зная вес большого шарика, мы легко вычислим вес маленького. В итоге мы выяснили, что маленький шарик весит 48 граммов.