Решите задачу: Основание прямой призмы - ромб с острым углом 60°, высота призмы равна 16 см. Цилиндр с боковой поверхностью 96π см² вписан в призму. Определите площадь боковой поверхности призмы. Заполните пропуски в ответе.

Для решения этой задачи необходимо найти площадь боковой поверхности призмы, зная боковую поверхность вписанного цилиндра и параметры основания призмы. 1. **Найдем радиус цилиндра:** Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле ( S_{бок. цил.} = 2πrh ), где ( r ) - радиус основания цилиндра, а ( h ) - его высота. В нашем случае высота цилиндра равна высоте призмы, то есть ( h = 16 ) см. Известно, что ( S_{бок. цил.} = 96π ) см². Подставим известные значения в формулу: \[ 96π = 2πr(16) \] \[ 96π = 32πr \] \[ r = \frac{96π}{32π} = 3 \] см. 2. **Найдем сторону ромба:** Так как цилиндр вписан в призму, основанием которой является ромб, то диаметр основания цилиндра равен высоте ромба. Высота ромба может быть найдена, если известна сторона ромба и острый угол. Пусть ( a ) - сторона ромба. Так как острый угол ромба равен 60°, то высота ромба равна ( a \cdot sin(60°) ). Поскольку высота ромба равна диаметру цилиндра, то \[ a \cdot sin(60°) = 2r \] \[ a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2 \cdot 3 \] \[ a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6 \] \[ a = \frac{6 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3} \] см. 3. **Найдем площадь боковой поверхности призмы:** Площадь боковой поверхности прямой призмы вычисляется по формуле ( S_{бок. призмы} = P \cdot h ), где ( P ) - периметр основания призмы, а ( h ) - ее высота. В нашем случае основанием является ромб со стороной ( a = 4\sqrt{3} ) см, поэтому периметр ромба равен ( 4a ): \[ P = 4 \cdot 4\sqrt{3} = 16\sqrt{3} \] см. Теперь мы можем найти площадь боковой поверхности призмы: \[ S_{бок. призмы} = 16\sqrt{3} \cdot 16 = 256\sqrt{3} \] см². 4. **Заполняем пропуски в ответе:** Ответ: ( S_{пр.} = 256\sqrt{3} ) (см²). Таким образом, в пропуски нужно вписать числа 256 и 3. **Ответ: 256 | √3**