Решите задачу: Основания равнобокой трапеции равны 6 см и 14 см, а высота — 6 см. Найдите радиус окружности, описанной около трапеции (в сантиметрах). Результат округлить до целых. Ответ запишите без наименований в виде целого числа.

Для решения этой задачи, нам понадобится знание геометрии и немного алгебры. Вот пошаговое решение: 1. **Визуализация**: Представим равнобокую трапецию, описанную около окружности. Обозначим основания трапеции как $a = 6$ см и $b = 14$ см, а высоту как $h = 6$ см. 2. **Боковая сторона**: Найдем длину боковой стороны трапеции. В равнобокой трапеции высоты, опущенные из вершин меньшего основания на большее основание, отсекают равные отрезки. Длина отрезка, который отсекает высота на большем основании, равна $\frac{b - a}{2} = \frac{14 - 6}{2} = 4$ см. Теперь, используя теорему Пифагора, можно найти длину боковой стороны $c$: $c = \sqrt{h^2 + (\frac{b - a}{2})^2} = \sqrt{6^2 + 4^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52}$ см. 3. **Радиус описанной окружности**: Для равнобокой трапеции, описанной около окружности, радиус описанной окружности можно найти по формуле: $R = \frac{c \cdot b \cdot a}{4 \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}$, где p - полупериметр, а a, b, c - стороны трапеции. Полупериметр $p = \frac{a+b+2c}{2} = \frac{6+14+2\sqrt{52}}{2} = 10 + \sqrt{52}$. Подставим известные значения в формулу для радиуса описанной окружности: $R = \frac{abc}{4S} = \frac{a b c}{4 \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}} = \frac{6 \cdot 14 \cdot \sqrt{52}}{4 \cdot \frac{6+14}{2} \cdot 6} = \frac{6 \cdot 14 \cdot \sqrt{52}}{4 S} = \frac{84 \sqrt{52}}{4 \cdot S}$, где S - площадь трапеции. S = $\frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{6+14}{2} \cdot 6 = 10 \cdot 6 = 60$. $R = \frac{abc}{4S} = \frac{6 \cdot 14 \cdot \sqrt{52}}{4 \cdot 60} = \frac{84 \sqrt{52}}{240} = \frac{7 \sqrt{52}}{20} = \frac{7 \sqrt{4 \cdot 13}}{20} = \frac{7 \cdot 2 \sqrt{13}}{20} = \frac{14 \sqrt{13}}{20} = \frac{7 \sqrt{13}}{10}$ $R = \frac{7 \sqrt{13}}{10} \approx \frac{7 \cdot 3.6}{10} \approx 2.52$ Другой способ: $\displaystyle R = \frac{c}{2 sin(\alpha)}$, где $\alpha$ - угол при большем основании. $\displaystyle sin(\alpha) = \frac{h}{c} = \frac{6}{\sqrt{52}}$ $\displaystyle R = \frac{\sqrt{52}}{2 \cdot \frac{6}{\sqrt{52}}} = \frac{52}{12} = \frac{13}{3} \approx 4.33$ 4. **Анализ условия**: Поскольку основания трапеции описаны около окружности, то суммы противоположных сторон должны быть равны. $a+b = c+d$. $6+14 = 20$, следовательно $c=d=10$. 5. **Снова радиус описанной окружности**: $R = \frac{abc}{4S} = \frac{6 \cdot 14 \cdot 10}{4 \cdot 60} = \frac{840}{240} = \frac{84}{24} = \frac{42}{12} = \frac{21}{6} = \frac{7}{2} = 3.5$ 6. **Действуем по другому**: Опустим высоту $h$ из вершины верхнего основания на нижнее. Получим прямоугольный треугольник с катетами $h=6$ и $\frac{14-6}{2} = 4$. Тогда боковая сторона равна $\sqrt{6^2 + 4^2} = \sqrt{36+16} = \sqrt{52}$. Т.к. в трапецию вписана окружность, то $6+14 = 2x$, где $x$ - боковая сторона. Отсюда $x=10$. Тогда $R = \sqrt{10^2 - (\frac{14-6}{2})^2} = \sqrt{100-16} = \sqrt{84}$ 7. **Снова Радиус описанной окружности**: $R = \frac{c}{2 sin(\alpha)}$, где $\alpha$ - угол при большем основании. $\displaystyle sin(\alpha) = \frac{h}{c} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$ $\displaystyle R = \frac{10}{2 \cdot \frac{3}{5}} = \frac{10 \cdot 5}{2 \cdot 3} = \frac{50}{6} = \frac{25}{3} \approx 8.33$ Округляем до целых: 8 **Ответ: 8**