Решите задачу по геометрии: Известно, что точка пересечения серединных перпендикуляров сторон $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ находится на стороне $AC$. Определите длину отрезков, на которые точка $D$ делит сторону $AC$, если $AC = 40$ см.

Решение: 1. **Понимание задачи:** * Дано: $\triangle ABC$, точка $D$ - точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам $AB$ и $BC$, $D$ лежит на $AC$, $AC = 40$ см. * Найти: $AD$ и $DC$. 2. **Основные факты:** * Серединный перпендикуляр к отрезку - это прямая, перпендикулярная отрезку и проходящая через его середину. * Все точки серединного перпендикуляра равноудалены от концов отрезка. * Если точка пересечения серединных перпендикуляров лежит на стороне треугольника, то треугольник прямоугольный. 3. **Анализ:** * Так как $D$ - точка пересечения серединных перпендикуляров к $AB$ и $BC$, то $DA = DB$ и $DB = DC$. Следовательно, $DA = DB = DC$. * Тогда точка $D$ является центром окружности, описанной около треугольника $ABC$. А поскольку центр описанной окружности лежит на стороне $AC$, то угол $B$ - прямой, и $AC$ - гипотенуза. * Точка $D$ - середина гипотенузы $AC$. Значит, $AD = DC$. 4. **Вычисление:** * $AC = 40$ см * $AD = DC = \frac{AC}{2} = \frac{40}{2} = 20$ см 5. **Ответ:** $AD = 20$ см, $DC = 20$ см. \textbf{Ответ:} Длина отрезков, на которые точка $D$ делит сторону $AC$, равна 20 см и 20 см. Развернутый ответ для школьника: Представь себе треугольник $ABC$. У тебя есть два серединных перпендикуляра: один к стороне $AB$, а другой к стороне $BC$. Точка, где они пересекаются, обозначена как $D$, и эта точка находится прямо на стороне $AC$. Наша задача - узнать, на какие два отрезка точка $D$ делит сторону $AC$, если известно, что вся сторона $AC$ равна 40 см. Помни, что серединный перпендикуляр - это линия, которая проходит ровно посередине стороны и образует с ней прямой угол. Важное свойство серединного перпендикуляра заключается в том, что любая точка на нём одинаково удалена от концов стороны. Так как точка $D$ находится на обоих серединных перпендикулярах, то она одинаково удалена и от точек $A$ и $B$ (то есть $AD = BD$), и от точек $B$ и $C$ (то есть $BD = CD$). Из этого следует, что $AD = BD = CD$. Теперь представь, что ты нарисовал окружность с центром в точке $D$ и радиусом $AD$. Эта окружность пройдет через точки $A$, $B$ и $C$. А это значит, что окружность описана вокруг треугольника $ABC$. Если центр описанной окружности лежит на стороне треугольника, это означает, что треугольник $ABC$ - прямоугольный, а сторона $AC$ - гипотенуза. И точка $D$ – это середина этой гипотенузы. Таким образом, точка $D$ делит гипотенузу $AC$ пополам. Если вся гипотенуза $AC$ равна 40 см, то каждый из отрезков $AD$ и $DC$ равен половине $AC$, то есть 20 см. Поэтому ответ: $AD = 20$ см и $DC = 20$ см.