Решите задачу по геометрии: В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагональ AC является биссектрисой угла A, равного 45°. Найдите BD, если меньшее основание трапеции равно \(6\sqrt{2}\).

Рассмотрим решение задачи по геометрии. 1. Анализ условия: - Дана прямоугольная трапеция \(ABCD\), где \(AD\) и \(BC\) – основания. - \(AC\) – биссектриса угла \(A\), и угол \(A = 45^{\circ}\). - \(BC = 6\sqrt{2}\). - Требуется найти \(BD\). 2. Построение: - Нарисуем прямоугольную трапецию \(ABCD\) с прямым углом при вершине \(C\) и \(D\). - Проведем диагональ \(AC\), которая является биссектрисой угла \(A\). - Отметим, что угол \(BAC = \frac{45^{\circ}}{2} = 22.5^{\circ}\). 3. Решение: - Поскольку \(AC\) – биссектриса угла \(A\), то \(\angle BAC = \angle CAD = 22.5^{\circ}\). - В прямоугольной трапеции угол \(CDA = 90^{\circ}\). - Тогда угол \(ACD = 90^{\circ} - 22.5^{\circ} = 67.5^{\circ}\). - Так как \(ABCD\) – прямоугольная трапеция, опустим высоту \(BH\) на \(AD\). - Рассмотрим треугольник \(ABH\). Угол \(BAH = 45^{\circ}\), значит, треугольник \(ABH\) – равнобедренный, следовательно, \(AH = BH\). - Поскольку \(BH = CD\), \(AH = CD\). - Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник \(ABC\). В нем угол \(BAC = 22.5^{\circ}\) и угол \(ACB = 90^{\circ} - 22.5^{\circ} = 67.5^{\circ}\). - Пусть \(CD = x\). Тогда \(AH = x\). - Из того, что \(AD = AH + HD\) и \(HD = BC\), получаем \(AD = x + 6\sqrt{2}\). - Рассмотрим треугольник \(ACD\). \(\angle CAD = 22.5^{\circ}\). Используем теорему синусов: \[\frac{CD}{\sin(\angle CAD)} = \frac{AD}{\sin(\angle ACD)}\] \[\frac{x}{\sin(22.5^{\circ})} = \frac{x + 6\sqrt{2}}{\sin(67.5^{\circ})}\] - Так как \(\sin(67.5^{\circ}) = \cos(22.5^{\circ})\), получим: \[x \cos(22.5^{\circ}) = (x + 6\sqrt{2}) \sin(22.5^{\circ})\] \[x (\cos(22.5^{\circ}) - \sin(22.5^{\circ})) = 6\sqrt{2} \sin(22.5^{\circ})\] - Известно, что \(\sin(22.5^{\circ}) = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}\) и \(\cos(22.5^{\circ}) = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}\). Тогда \(\cos(22.5^{\circ}) - \sin(22.5^{\circ}) = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} - \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{4 + 2\sqrt{2}}}\). \[x = \frac{6\sqrt{2} \sin(22.5^{\circ})}{\cos(22.5^{\circ}) - \sin(22.5^{\circ})}\] \[x = \frac{6\sqrt{2} \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{4 + 2\sqrt{2}}}} = 6\sqrt{2 - \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{4 + 2\sqrt{2}}}{\sqrt{2}} = 6\sqrt{(2 - \sqrt{2})(2 + \sqrt{2})} = 6\sqrt{4 - 2} = 6\sqrt{2}\] - Значит, \(CD = 6\sqrt{2}\). - Тогда \(AD = CD + BC = 6\sqrt{2} + 6\sqrt{2} = 12\sqrt{2}\). - В прямоугольном треугольнике \(ABD\) по теореме Пифагора: \[BD^2 = AD^2 + AB^2\] \[AB^2 = AH^2 + BH^2 = (6\sqrt{2})^2 + (6\sqrt{2})^2 = 72 + 72 = 144\] \[AB = 12\] \[BD^2 = (12\sqrt{2})^2 + 12^2 = 288 + 144 = 432\] \[BD = \sqrt{432} = \sqrt{144 \cdot 3} = 12\sqrt{3}\] Ответ: \(BD = 12\sqrt{3}\)