Решите задачу, подробно показав формулы и расчеты: На каком расстоянии от собирающей линзы располагается предмет, если фокусное расстояние линзы 12 см, а изображение получено на экране действительное и больше в 3 раза истинных размеров предмета.

Дано:

\( f = 12 \text{ см} \)

\( k = 3 \) (увеличение)

Изображение действительное.

Найти:

\( d \) - ?

Решение:

Для собирающей линзы справедливы формулы:

1. Формула тонкой линзы: \( \frac{1}{d} + \frac{1}{f'} = \frac{1}{F} \), где \( d \) — расстояние до предмета, \( f' \) — расстояние до изображения, \( F \) — фокусное расстояние.
2. Формула увеличения: \( k = \frac{|f'|}{d} \).

Так как изображение действительное, \( f' > 0 \).

Из формулы увеличения имеем: \( |f'| = k · d = 3d \).

Подставим \( F = 12 \text{ см} \) и \( f' = 3d \) в формулу тонкой линзы:

\[ \frac{1}{d} + \frac{1}{3d} = \frac{1}{12} \]

Приведем к общему знаменателю:

\[ \frac{3}{3d} + \frac{1}{3d} = \frac{1}{12} \]

\[ \frac{4}{3d} = \frac{1}{12} \]

Выразим \( d \):

\[ 3d = 4 · 12 \]

\[ 3d = 48 \]

\[ d = \frac{48}{3} = 16 \text{ см} \]

Ответ: 16 см