Решите задачу, представленную на изображении. Вычислите длину диагонали параллелепипеда, если сторона DC основания прямоугольного параллелепипеда равна 5 м, высота параллелепипеда равна 12 м, и диагональ образует угол 45° с меньшей боковой гранью.

Давайте решим эту задачу шаг за шагом. 1. **Анализ условия задачи:** У нас есть прямоугольный параллелепипед. Известна длина одной из сторон основания (DC = 5 м) и высота параллелепипеда (12 м). Нужно найти длину диагонали параллелепипеда, зная, что она образует угол 45° с меньшей боковой гранью. 2. **Обозначения:** Пусть дан параллелепипед ABCDEFGK. Пусть DC = 5 м, высота (например, AD или BF) равна 12 м. Обозначим длину стороны AD основания как x. 3. **Угол между диагональю и меньшей боковой гранью:** Предположим, что меньшая боковая грань – это ADHE. Диагональ параллелепипеда, образующая угол 45° с этой гранью, должна быть диагональю DK. Тогда угол между DK и плоскостью ADHE равен 45°. 4. **Тангенс угла:** Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой AE и стороной AD. Так как угол между диагональю и гранью равен 45°, то тангенс этого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему. В нашем случае, это означает, что отношение высоты (12 м) к стороне AD равно тангенсу 45°. \[\tan(45^\circ) = \frac{12}{x}\] Поскольку \(\tan(45^\circ) = 1\), получаем: \[1 = \frac{12}{x}\] \[x = 12\] Значит, AD = 12 м. 5. **Длина диагонали основания:** Теперь мы знаем обе стороны основания: DC = 5 м и AD = 12 м. Найдем диагональ основания (AC) по теореме Пифагора: \[AC = \sqrt{AD^2 + DC^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13\] Таким образом, диагональ основания AC равна 13 м. 6. **Длина диагонали параллелепипеда (AG):** Теперь найдем диагональ параллелепипеда AG, используя прямоугольный треугольник ACG, где CG – высота параллелепипеда (12 м). \[AG = \sqrt{AC^2 + CG^2} = \sqrt{13^2 + 12^2} = \sqrt{169 + 144} = \sqrt{313}\] 7. **Упрощение ответа:** Длина диагонали параллелепипеда равна \(\sqrt{313}\) м. Так как нам нужно представить ответ в виде \(a\sqrt{b}\), проверим, можно ли упростить корень. 313 – простое число, поэтому корень не упрощается. 8. **Поиск меньшей боковой грани**: Так как AD = 12, DC = 5, то AD > DC, следовательно меньшая боковая грань это DCCG. То есть угол 45 градусов между диагональю параллелепипеда и гранью DCCG - это угол между DG и диагональю самого параллелепипеда. Тогда, AD = DC = 5. Диагональ основания \(AC = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\) Диагональ параллелепипеда \(AG = \sqrt{AC^2 + CG^2} = \sqrt{(5\sqrt{2})^2 + 12^2} = \sqrt{50 + 144} = \sqrt{194}\) Так как нам нужно представить ответ в виде \(a\sqrt{b}\), проверим, можно ли упростить корень. 194 = 2 * 97, поэтому корень не упрощается. 9. **Ответ:** Ответ в заданном формате: \(1\sqrt{194}\) **Ответ:** 1 \(\sqrt{194}\) м.