Решите задачу: Прямая \( a \) пересекает плоскость \( \beta \) в точке \( C \) и образует с плоскостью угол \( 30^\circ \). \( P \in a \), точка \( R \) – проекция точки \( P \) на плоскость \( \beta \). \( PR = 5 \) см. Найдите \( PC \).

Давайте решим эту задачу. 1. **Визуализация**: Представим себе прямую \( a \), пересекающую плоскость \( \beta \) в точке \( C \). Угол между прямой и плоскостью равен \( 30^\circ \). Точка \( P \) лежит на прямой \( a \), а точка \( R \) – это проекция точки \( P \) на плоскость \( \beta \). 2. **Геометрическая модель**: Получается прямоугольный треугольник \( \triangle PRC \), где \( PR \) – катет, перпендикулярный плоскости \( \beta \), \( PC \) – гипотенуза, и угол \( \angle PCR = 30^\circ \). 3. **Использование тригонометрии**: В прямоугольном треугольнике \( \triangle PRC \) мы знаем катет \( PR \) и угол \( \angle PCR \). Нам нужно найти гипотенузу \( PC \). Используем синус угла: \[\sin(\angle PCR) = \frac{PR}{PC}\] Подставляем известные значения: \[\sin(30^\circ) = \frac{5}{PC}\] \[\frac{1}{2} = \frac{5}{PC}\] 4. **Решение уравнения**: Решаем уравнение для \( PC \): \[PC = \frac{5}{\frac{1}{2}}\] \[PC = 5 \cdot 2\] \[PC = 10\] **Ответ**: \( PC = 10 \) см. **Ответ:** 10