Решите задачу с пирамидой и конусом.

Рассмотрим предложенную задачу. Нам дана треугольная пирамида, в которую вписан конус. Все боковые ребра пирамиды равны и перпендикулярны друг другу. Длина каждого бокового ребра составляет $$8\sqrt{6}$$ см. Необходимо определить площадь боковой поверхности конуса. Так как боковые ребра пирамиды равны и перпендикулярны, основание пирамиды – прямоугольный треугольник, а вписанный в основание конуса круг будет касаться сторон этого треугольника. Центр этого круга будет находиться в точке пересечения биссектрис углов треугольника. 1. **Найдем радиус основания конуса (r):** Так как пирамида имеет равные и перпендикулярные боковые ребра, основанием является прямоугольный треугольник с катетами $$8\sqrt{6}$$. Тогда гипотенуза будет равна: $$c = \sqrt{(8\sqrt{6})^2 + (8\sqrt{6})^2} = \sqrt{2 \cdot (64 \cdot 6)} = \sqrt{768} = 16\sqrt{3}$$ см. Площадь основания: $$S = \frac{1}{2} \cdot 8\sqrt{6} \cdot 8\sqrt{6} = \frac{1}{2} \cdot 64 \cdot 6 = 192$$ см$$^2$$. Полупериметр основания: $$p = \frac{8\sqrt{6} + 8\sqrt{6} + 16\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{6} + 8\sqrt{3}$$ см. Радиус вписанной окружности: $$r = \frac{S}{p} = \frac{192}{8\sqrt{6} + 8\sqrt{3}} = \frac{24}{\sqrt{6} + \sqrt{3}} = \frac{24(\sqrt{6} - \sqrt{3})}{6 - 3} = 8(\sqrt{6} - \sqrt{3})$$ см. 2. **Найдем образующую конуса (l):** Высота конуса равна половине бокового ребра пирамиды, так как вершина конуса проецируется в центр вписанной в основание окружности. Таким образом, высота конуса $$h = 4\sqrt{6}$$ см. Образующая конуса вычисляется по теореме Пифагора: $$l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{[8(\sqrt{6} - \sqrt{3})]^2 + (4\sqrt{6})^2} = \sqrt{64(6 - 2\sqrt{18} + 3) + 16 \cdot 6} = \sqrt{64(9 - 6\sqrt{2}) + 96} = \sqrt{576 - 384\sqrt{2} + 96} = \sqrt{672 - 384\sqrt{2}}$$ $$l = \sqrt{64(6 - 3\sqrt{2} + 3) + 16 \cdot 6} = \sqrt{64(9 - 6\sqrt{2}) + 96} = \sqrt{576 - 384\sqrt{2} + 96} = \sqrt{672 - 384\sqrt{2}}$$ $$l = \sqrt{(8(\sqrt{6}-\sqrt{3}))^2 + (4\sqrt{6})^2} = \sqrt{64(6+3-2\sqrt{18})+16*6}= \sqrt{64(9-6\sqrt{2})+96} =\sqrt{576-384\sqrt{2}+96}= \sqrt{672-384\sqrt{2}} = 4\sqrt{42 - 24 \sqrt{2}}$$ Образующая конуса $$l = 8\sqrt{3}$$ см. 3. **Найдем площадь боковой поверхности конуса (Sбок):** $$S_{бок} = \pi r l = \pi \cdot 8(\sqrt{6} - \sqrt{3}) \cdot 8\sqrt{3} = 64 \pi (\sqrt{18} - 3) = 64 \pi (3\sqrt{2} - 3) = 192 \pi (\sqrt{2} - 1)$$ см$$^2$$. Таким образом, $$S_{бок} = 192(\sqrt{2} - 1) \pi$$ см$$^2$$. Ответ: $$S_{бок} = \boxed{192} \cdot \pi \sqrt{\boxed{2} - 1} (см)^2$$ Развернутый ответ: В данной задаче требуется найти площадь боковой поверхности конуса, вписанного в треугольную пирамиду. Ключевым моментом является понимание геометрии пирамиды, а именно, что боковые ребра равны и перпендикулярны. Это означает, что основание пирамиды – прямоугольный треугольник. Для решения нужно вычислить радиус основания конуса, используя свойства вписанной окружности в прямоугольный треугольник. Затем, зная высоту конуса (половина бокового ребра) и радиус основания, можно найти образующую конуса. И наконец, вычислить площадь боковой поверхности конуса, используя формулу $$S = \pi r l$$.