6. Решите задачу с помощью графа: В нашем классе 5 человек изучает немецкий язык, остальные - английский. На уроке учитель опрашивает каждый урок одновременно 2 учеников (вопрос-ответ). Сколько пар можно составить, чтобы ученики в паре не повторялись?

Решение: Пусть $$n$$ - общее количество учеников в классе. Известно, что 5 человек изучают немецкий язык, а остальные - английский. Для решения задачи необходимо знать общее количество учеников в классе. Предположим, что в классе всего $$x$$ учеников. На уроке учитель опрашивает одновременно 2 учеников. Нам нужно определить, сколько различных пар учеников можно составить из $$x$$ учеников. Это можно сделать с помощью формулы для сочетаний: $$C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$, где $$n$$ - общее число учеников, а $$k$$ - число учеников в паре, в нашем случае $$k = 2$$. Тогда, $$C(x, 2) = \frac{x!}{2!(x-2)!} = \frac{x(x-1)}{2}$$. Предположим, что в классе 7 учеников. Тогда 5 изучают немецкий, а 2 - английский. Тогда всего возможное количество пар: $$C(7, 2) = \frac{7 cdot 6}{2} = 21$$. Если общее количество учеников неизвестно, обозначим количество учеников, изучающих английский, как $$y$$. Тогда общее количество учеников $$x = 5 + y$$. Общее количество пар будет равно $$C(5+y, 2) = \frac{(5+y)(4+y)}{2}$$. Обычно в классе не менее 10 учеников. Если в классе 10 человек, тогда: 5 - немецкий, 5 - английский. $$C(10, 2) = \frac{10 \cdot 9}{2} = 45$$ **Ответ: Если в классе 7 учеников, то 21 пара. Если в классе 10 учеников, то 45 пар. Общая формула для x учеников: $$\frac{x(x-1)}{2}$$**