3. Решите задачу с помощью уравнения. a) В 5 часов утра рыболов на моторной лодке отправился от пристани против течения реки, через некоторое время бросил якорь, 2 часа ловил рыбу и вернулся обратно в 10 часов утра того же дня. На какое расстояние от пристани он отдалился, если скорость реки равна 2 км/ч, а собственная скорость лодки 6 км/ч? b) Теплоход идёт из Нижнего Новгорода в Астрахань за 6 суток, а назад - за 7 суток. Сколько времени плывёт плот из Нижнего Новгорода в Астрахань? в) Из двух городов одновременно навстречу друг другу отправились два велосипедиста. Проехав некоторую часть пути, первый велосипедист сделал остановку на 30 минут, а затем продолжил движение до встречи со вторым велосипедистом. Расстояние между городами составляет 144 км, скорость первого велосипедиста равна 24 км/ч, скорость второго - 28 км/ч. Определите расстояние от города, из которого выехал второй велосипедист, до места встречи. г) От почты до дома дяди Фёдора надо пройти 9 км. Почтальон Печкин проходит путь туда и обратно, не задерживаясь на чай, за 3 ч 41 мин. Дорога идёт сначала в гору, потом по равнине и затем под гору. Сколько времени пройдёт почтальон Печкин, если в гору он идёт со скоростью 4 км/ч, по ровному месту 5 км/ч, а под гору 6 км/ч?

a) Пусть $x$ – расстояние от пристани до места, где рыбак бросил якорь. Тогда время, затраченное на путь туда, равно $\frac{x}{6-2} = \frac{x}{4}$, а время на обратный путь равно $\frac{x}{6+2} = \frac{x}{8}$. Также известно, что рыбак ловил рыбу 2 часа и отсутствовал всего 10 часов. Получаем уравнение: $\frac{x}{4} + \frac{x}{8} + 2 = 10 - 5$ $\frac{x}{4} + \frac{x}{8} = 5 - 2$ $\frac{2x + x}{8} = 3$ $\frac{3x}{8} = 3$ $3x = 24$ $x = 8$ км Ответ: 8 км b) Пусть расстояние между Нижним Новгородом и Астраханью равно $S$. Пусть $v_т$ – скорость теплохода, а $v_р$ – скорость реки. Тогда: $\frac{S}{v_т + v_р} = 6$ (по течению) $\frac{S}{v_т - v_р} = 7$ (против течения) Выразим $S$ из обоих уравнений: $S = 6(v_т + v_р)$ $S = 7(v_т - v_р)$ Приравняем: $6(v_т + v_р) = 7(v_т - v_р)$ $6v_т + 6v_р = 7v_т - 7v_р$ $v_т = 13v_р$ Теперь найдём время, за которое плот проплывёт расстояние $S$. Скорость плота равна скорости реки $v_р$. Поэтому время равно: $t = \frac{S}{v_р} = \frac{6(v_т + v_р)}{v_р} = \frac{6(13v_р + v_р)}{v_р} = \frac{6 \cdot 14v_р}{v_р} = 6 \cdot 14 = 84$ суток Ответ: 84 суток в) Пусть $t_1$ – время в пути первого велосипедиста до встречи, а $t_2$ – время в пути второго велосипедиста до встречи. Пусть $S_1$ – расстояние, которое проехал первый велосипедист до встречи, а $S_2$ – расстояние, которое проехал второй велосипедист до встречи. Тогда $S_1 + S_2 = 144$ км. Учитывая, что первый велосипедист сделал остановку на 30 минут (0.5 часа): $t_1 = t_2 + 0.5$ Также: $S_1 = 24t_1$ $S_2 = 28t_2$ $24t_1 + 28t_2 = 144$ Подставим $t_1 = t_2 + 0.5$: $24(t_2 + 0.5) + 28t_2 = 144$ $24t_2 + 12 + 28t_2 = 144$ $52t_2 = 132$ $t_2 = \frac{132}{52} = \frac{33}{13}$ часа Тогда $S_2 = 28 \cdot \frac{33}{13} = \frac{924}{13} \approx 71.08$ км Ответ: $\frac{924}{13}$ км или приблизительно 71.08 км г) Пусть $x$ – расстояние в гору (в одну сторону). Тогда расстояние по равнине равно $9 - x$. Время, затраченное на путь туда и обратно: $\frac{x}{4} + \frac{9-x}{5} + \frac{x}{6} + \frac{9-x}{5} = 3 + \frac{41}{60}$ $\frac{x}{4} + \frac{x}{6} + \frac{2(9-x)}{5} = \frac{180+41}{60}$ $\frac{3x+2x}{12} + \frac{18-2x}{5} = \frac{221}{60}$ $\frac{5x}{12} + \frac{18-2x}{5} = \frac{221}{60}$ $\frac{25x + 12(18-2x)}{60} = \frac{221}{60}$ $25x + 216 - 24x = 221$ $x = 221 - 216$ $x = 5$ км Время, затраченное на путь в гору: $\frac{5}{4} = 1.25$ часа Время, затраченное на путь по равнине: $\frac{9-5}{5} = \frac{4}{5} = 0.8$ часа Время, затраченное на путь под гору: $\frac{5}{6} \approx 0.83$ часа Общее время: $1.25 + 0.8 + 0.83 + 0.8 = 3.68$ часа, что примерно равно 3 часам и 41 минуте. Ответ: 3 часа 41 минута