Решите задачу: Сторона равностороннего треугольника равна $8\sqrt{3}$. Найдите биссектрису этого треугольника.

Здравствуйте, ученики! Давайте решим эту задачу вместе. 1. **Понимание задачи:** Нам дан равносторонний треугольник, и мы знаем длину его стороны. Наша задача – найти длину биссектрисы этого треугольника. 2. **Свойства равностороннего треугольника:** В равностороннем треугольнике все стороны равны, и все углы равны $60^{\circ}$. Важно помнить, что в равностороннем треугольнике биссектриса, медиана и высота, проведенные из одной вершины, совпадают. 3. **Биссектриса как высота:** Поскольку биссектриса является и высотой, она образует прямой угол с основанием треугольника. Таким образом, мы можем рассмотреть прямоугольный треугольник, образованный биссектрисой, половиной стороны равностороннего треугольника и стороной равностороннего треугольника. 4. **Применение теоремы Пифагора или тригонометрии:** Есть два способа найти длину биссектрисы: * **Способ 1: Теорема Пифагора** Пусть $a$ - сторона равностороннего треугольника, $h$ - биссектриса (она же высота). Тогда половина стороны равна $\frac{a}{2}$. По теореме Пифагора: $$h^2 + (\frac{a}{2})^2 = a^2$$ $$h^2 = a^2 - (\frac{a}{2})^2$$ $$h^2 = a^2 - \frac{a^2}{4}$$ $$h^2 = \frac{3a^2}{4}$$ $$h = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$ Подставим $a = 8\sqrt{3}$: $$h = \frac{8\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{8 \cdot 3}{2} = 12$$ * **Способ 2: Тригонометрия** В прямоугольном треугольнике, образованном высотой, углы равны $30^{\circ}$, $60^{\circ}$ и $90^{\circ}$. Мы знаем сторону (гипотенузу), равную $8\sqrt{3}$, и угол $60^{\circ}$. Высоту можно найти как: $$h = a \cdot sin(60^{\circ})$$ $$h = 8\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{8 \cdot 3}{2} = 12$$ 5. **Ответ:** Биссектриса равностороннего треугольника равна **12**. Надеюсь, это объяснение поможет вам лучше понять решение этой задачи! Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их.