Решите задачу: В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AB косинус угла при основании равен \(\frac{1}{3}\). Найдите отношение высот AH и CK треугольника ABC.

Давайте решим эту задачу вместе. **1. Визуализация и обозначения:** Представим равнобедренный треугольник ABC с основанием AB. Обозначим угол при основании (например, угол BAC) как \(\alpha\). Дано, что \(\cos(\alpha) = \frac{1}{3}\). AH - высота, проведенная к боковой стороне BC. CK - высота, проведенная к основанию AB. **2. Идея решения:** Наша цель - найти отношение \(\frac{AH}{CK}\). Мы знаем косинус угла при основании. Нужно связать высоты с известными величинами через тригонометрические функции или площади. **3. Решение:** * Рассмотрим треугольник ABH (прямоугольный, так как AH - высота). В этом треугольнике \(\angle ABH = \alpha\), так как \(\triangle ABC\) равнобедренный и углы при основании равны. Тогда, \(\sin \alpha = \frac{AH}{AB}\) или \(AH = AB \cdot \sin \alpha\). * Рассмотрим треугольник ACK (прямоугольный, так как CK - высота). В этом треугольнике \(\angle CAK = \alpha\). Тогда, \(\cos \alpha = \frac{AK}{AC}\). И так как CK - высота к основанию равнобедренного треугольника, то она является и медианой, значит \(AK = \frac{1}{2} AB\). Подставляем и получаем \(\cos \alpha = \frac{\frac{1}{2} AB}{AC}\) или \(AC = \frac{AB}{2 \cos \alpha}\). * Теперь, чтобы найти \(CK\), рассмотрим треугольник ACK (прямоугольный): \(\sin \alpha = \frac{CK}{AC}\), значит \(CK = AC \cdot \sin \alpha\). Подставляем сюда ранее полученное выражение для \(AC\): \(CK = \frac{AB}{2 \cos \alpha} \cdot \sin \alpha = \frac{AB \cdot \sin \alpha}{2 \cos \alpha}\). * Выразим \(\sin \alpha\) через \(\cos \alpha\). Используем основное тригонометрическое тождество: \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\). Тогда, \(\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha}\). Подставляем \(\cos \alpha = \frac{1}{3}\): \(\sin \alpha = \sqrt{1 - (\frac{1}{3})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}\). * Теперь подставим значения в выражения для \(AH\) и \(CK\): \(AH = AB \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3}\). \(CK = \frac{AB \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3}}{2 \cdot \frac{1}{3}} = AB \cdot \sqrt{2}\). * Находим отношение \(\frac{AH}{CK}\): \(\frac{AH}{CK} = \frac{AB \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3}}{AB \cdot \sqrt{2}} = \frac{2}{3}\). **Ответ:** Отношение высот \(\frac{AH}{CK} = \frac{2}{3}\).