Решите задачу. Впишите ответ. MP и MK – касательные к окружности с центром O, ∠PMK = 60°. Точка M удалена от центра окружности на 24 см. Вычислите длину диаметра окружности PR и расстояние от её центра до секущей PK.

Здравствуйте, ученики! Давайте решим эту задачу вместе. 1. Анализ условия задачи: * MP и MK – касательные к окружности с центром O. * ∠PMK = 60°. * Расстояние от точки M до центра окружности (OM) = 24 см. * Необходимо найти: диаметр окружности PR и расстояние от центра O до секущей PK (OS). 2. Решение: * Так как MP и MK - касательные к окружности, то углы OPM и OKM прямые (равны 90°). Это свойство касательных. * Рассмотрим четырехугольник OPMK. Сумма углов в четырехугольнике равна 360°. Следовательно, ∠POK = 360° - 90° - 90° - 60° = 120°. * Рассмотрим треугольник OPM. Он прямоугольный, так как OP - радиус, проведенный в точку касания. Угол ∠PMO равен половине угла ∠PMK, то есть 60°/2 = 30°. * Используем тригонометрические функции для нахождения радиуса OP. В прямоугольном треугольнике OPM: $$sin(∠PMO) = \frac{OP}{OM}$$ $$sin(30°) = \frac{OP}{24}$$ Так как $$sin(30°) = \frac{1}{2}$$, то $$\frac{1}{2} = \frac{OP}{24}$$. Отсюда, $$OP = 24 * \frac{1}{2} = 12$$ см. Это радиус окружности. * Диаметр PR равен двум радиусам, поэтому $$PR = 2 * OP = 2 * 12 = 24$$ см. * OS - это высота в равнобедренном треугольнике POK, проведённая к основанию PK. Так как треугольник POK равнобедренный (OP=OK=радиус), то OS является и медианой, и биссектрисой. Поэтому ∠POS = 1/2 * ∠POK = 1/2 * 120° = 60°. * Рассмотрим прямоугольный треугольник POS. $$cos(∠POS) = \frac{OS}{OP}$$. $$cos(60°) = \frac{OS}{12}$$ Так как $$cos(60°) = \frac{1}{2}$$, то $$\frac{1}{2} = \frac{OS}{12}$$. Отсюда, $$OS = 12 * \frac{1}{2} = 6$$ см. 3. Ответ: * PR = 24 см. * OS = 6 см. Развернутый ответ для школьника: Мы решили задачу, используя свойства касательных к окружности, тригонометрические функции и знания о четырехугольниках и треугольниках. Важно помнить, что касательная всегда перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Это позволяет нам использовать прямоугольные треугольники и тригонометрию для нахождения неизвестных длин. Также полезно помнить свойства углов в четырехугольниках и равнобедренных треугольниках. Надеюсь, это объяснение было понятным! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.