Решите задачу: Высота прямоугольного треугольника делит прямой угол на два угла, один из которых вдвое больше другого. Докажите, что эта высота делит гипотенузу в отношении 3:1.

Привет, ребята! Давайте решим эту интересную задачу вместе. **1. Анализ условия задачи:** У нас есть прямоугольный треугольник, и высота, проведенная из прямого угла, делит этот угол на два угла, один из которых в два раза больше другого. Нужно доказать, что эта высота делит гипотенузу в отношении 3:1. **2. Чертеж и обозначения:** Представим себе прямоугольный треугольник ABC, где угол C - прямой. Проведем высоту CH из вершины C к гипотенузе AB. Пусть угол ACH равен $$x$$, тогда угол BCH равен $$2x$$. **3. Нахождение углов:** Так как CH делит прямой угол C, то $$x + 2x = 90^{\circ}$$. Отсюда, $$3x = 90^{\circ}$$, следовательно, $$x = 30^{\circ}$$. Значит, угол ACH равен $$30^{\circ}$$, а угол BCH равен $$60^{\circ}$$. **4. Рассмотрение треугольников:** Теперь рассмотрим треугольник AHC. Угол AHC - прямой ($$90^{\circ}$$), угол ACH равен $$30^{\circ}$$, следовательно, угол A равен $$180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$$. В треугольнике BHC угол BHC - прямой ($$90^{\circ}$$), угол BCH равен $$60^{\circ}$$, следовательно, угол B равен $$180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$$. **5. Использование тригонометрии:** Пусть AH = a и BH = b. Нужно доказать, что $$a/b = 3/1$$, то есть $$a = 3b$$. В треугольнике AHC: $$CH = AH * tg(60^{\circ}) = a * \sqrt{3}$$. В треугольнике BHC: $$CH = BH * tg(30^{\circ}) = b * (1/\sqrt{3})$$. **6. Приравнивание выражений для CH:** Так как CH – это одна и та же высота, мы можем приравнять выражения для CH: $$a * \sqrt{3} = b * (1/\sqrt{3})$$. Умножим обе части уравнения на $$\sqrt{3}$$: $$3a = b$$. Ой, кажется, я допустил ошибку в рассуждениях. Попробуем другой подход. **7. Похожий треугольник:** Рассмотрим треугольник ABC. Угол A равен $$60^{\circ}$$, угол B равен $$30^{\circ}$$, угол C равен $$90^{\circ}$$. Пусть гипотенуза AB = c. Тогда AC = c * cos(60°) = c/2, и BC = c * sin(60°) = $$c\sqrt{3}/2$$. **8. Площадь треугольника ABC:** Площадь треугольника ABC можно вычислить двумя способами: $$S = (1/2) * AC * BC = (1/2) * (c/2) * (c\sqrt{3}/2) = c^2\sqrt{3}/8$$. Также, $$S = (1/2) * AB * CH = (1/2) * c * CH$$, отсюда CH = $$c\sqrt{3}/4$$. **9. Выражение для AH и BH:** В треугольнике AHC: $$AH = AC * cos(60^{\circ}) = (c/2) * cos(60^{\circ}) = c/4$$. В треугольнике BHC: $$BH = BC * cos(30^{\circ}) = (c\sqrt{3}/2) * cos(30^{\circ}) = (c\sqrt{3}/2) * (\sqrt{3}/2) = 3c/4$$. **10. Отношение AH к BH:** Теперь найдем отношение AH к BH: $$AH/BH = (c/4) / (3c/4) = 1/3$$. Из этого следует, что гипотенуза делится в отношении 1:3, а не 3:1. Возможно в условии опечатка, и нужно доказать, что отношение 1:3. **11. Заключение:** Высота делит гипотенузу в отношении **1:3**, что и требовалось доказать (если в условии была опечатка). __Развернутый ответ для школьника:__ Представь себе прямоугольный треугольник. Высота, проведенная из прямого угла, разбивает этот угол на два. Один угол вдвое больше другого. Тогда, используя геометрию и немного тригонометрии, мы можем найти все углы в образовавшихся треугольниках. Зная углы, мы можем найти отношения сторон, и доказать, что высота делит гипотенузу в отношении 1:3. Это означает, что один отрезок гипотенузы в три раза больше другого.