Решите задачу: «Задумали трёхзначное число, которое делится на 42 и последняя цифра которого не равна ни одной из цифр трёхзначного числа, записанного теми же цифрами в обратном порядке. В итоге получили число 501. Какое число было задумано?»

Давайте разберемся с этой задачей шаг за шагом. 1. Анализ делимости на 42: Число делится на 42, значит, оно делится и на 2, и на 3, и на 7, так как $42 = 2 \times 3 \times 7$. Делимость на 2 означает, что число должно быть четным. Делимость на 3 означает, что сумма цифр числа должна делиться на 3. 2. Представление трехзначного числа: Пусть задуманное число имеет вид $\overline{abc}$, где $a$, $b$, $c$ - цифры от 0 до 9. Тогда число можно представить как $100a + 10b + c$. 3. Условие задачи о перевернутом числе: Число, записанное в обратном порядке, имеет вид $\overline{cba}$, что составляет $100c + 10b + a$. Из условия задачи следует, что если из перевернутого числа вычесть исходное, то получится 501. Таким образом: $$(100c + 10b + a) - (100a + 10b + c) = 501$$ $$99c - 99a = 501$$ $$99(c - a) = 501$$ $$c - a = \frac{501}{99} = \frac{167}{33}$$ Но это невозможно, так как $c$ и $a$ должны быть целыми числами, а разность между ними не может быть дробным числом. 4. Исправленное условие задачи: Предположим, в условии задачи была опечатка и имеется в виду, что если из исходного числа вычесть перевернутое, то получится 501: $$(100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) = 501$$ $$99a - 99c = 501$$ $$99(a - c) = 501$$ $$a - c = \frac{501}{99} = \frac{167}{33}$$ Это тоже не имеет смысла, так как a и c должны быть целыми числами. 5. Пересмотр условия задачи и уточнение: Вероятно, имеется в виду, что разность между большим и меньшим числом равна 501, и была допущена опечатка в условии. Ищем трехзначное число, кратное 42. Это числа: 126, 168, 210, 252, 294, 336, 378, 420, 462, 504, 546, 588, 630, 672, 714, 756, 798, 840, 882, 924, 966. Проверим для числа 504: 504 - 405 = 99. Не подходит. Проверим для числа 546: 645 - 546 = 99. Не подходит. 6. Поиск методом подбора и исправления условия: Предположим, что имеется в виду, что к перевернутому числу прибавили 501. Тогда ищем такое число $\overline{abc}$, чтобы $\overline{cba} + 501 = \overline{abc}$. Примем, что имеется ввиду не «вычитание», а то, что в результате каких-то действий с перевернутым числом получилось 501. Например, если к перевернутому числу прибавить некое число, получится 501. Давайте еще раз вернемся к условию задачи: трехзначное число делится на 42. Перевернутое число, не имеет общих цифр с исходным. В итоге получилось 501 - здесь точно ошибка, т.к. 501 не может быть перевернутым числом. Наиболее вероятная интерпретация: Какое число было задумано, если в результате ошибки или действия получили число близкое к 501. Это может быть связано с тем, что мы ищем число, кратное 42, близкое к значению, которое при перевороте дает что-то близкое к 501. Числа, кратные 42, в районе 500: 462, 504, 546, 588. Рассмотрим их перевернутые варианты: - 462 -> 264 - 504 -> 405 - 546 -> 645 - 588 -> 885 Если мы предположим, что «получили 501» - это результат какой-то ошибки, и на самом деле имелось в виду одно из чисел, кратных 42, и при этом близкое к 501, то наиболее подходящим вариантом будет число 504. Ответ: 504