Решите задачу: Дан равносторонний пятиугольник, который можно с помощью одного прямолинейного разреза превратить в два равнобедренных равновеликих треугольника площадью 2025. Найди квадрат периметра этого пятиугольника (число в ответе запиши без пробелов).

Пусть $$S$$ — площадь одного равнобедренного треугольника, тогда $$S = 2025$$. Поскольку пятиугольник равносторонний, то прямой разрез делит его на два равных равнобедренных треугольника. Значит, площадь пятиугольника равна сумме площадей двух треугольников, то есть $$2S = 2 cdot 2025 = 4050$$. Пусть сторона пятиугольника равна $$a$$. Площадь равностороннего пятиугольника можно вычислить по формуле: $$A = \frac{1}{4} \sqrt{25 + 10 \sqrt{5}} a^2$$. Таким образом, мы имеем: $$\frac{1}{4} \sqrt{25 + 10 \sqrt{5}} a^2 = 4050$$ $$a^2 = \frac{4 \cdot 4050}{\sqrt{25 + 10 \sqrt{5}}} = \frac{16200}{\sqrt{25 + 10 \sqrt{5}}} \approx \frac{16200}{\sqrt{47.02}} \approx \frac{16200}{6.857} \approx 2362.5$$ Следовательно, $$a \approx \sqrt{2362.5} \approx 48.6$$ Периметр пятиугольника равен $$5a$$, то есть $$P = 5a \approx 5 \cdot 48.6 = 243$$. Квадрат периметра равен $$P^2 = (5a)^2 \approx 243^2 = 59049$$. Рассмотрим другой подход. Допустим, что пятиугольник после разреза образует два равновеликих треугольника. Тогда площадь пятиугольника равна $$2*2025 = 4050$$. Площадь равностороннего пятиугольника выражается как $$A = \frac{5a^2}{4 \tan(36^{\circ})}$$, где $$a$$ - сторона пятиугольника. Тогда $$\frac{5a^2}{4 \tan(36^{\circ})} = 4050$$, $$a^2 = \frac{4050 \cdot 4 \tan(36^{\circ})}{5} = 3240 \tan(36^{\circ}) \approx 3240 \cdot 0.7265 \approx 2354.94$$. $$a \approx \sqrt{2354.94} \approx 48.52$$. Периметр пятиугольника равен $$5a \approx 5 \cdot 48.52 = 242.6$$. Квадрат периметра равен $$242.6^2 \approx 58854.76$$. Пусть правильный пятиугольник разрезали по диагонали. Тогда образуются треугольник и трапеция. Тогда площадь пятиугольника равна сумме площадей двух равновеликих треугольников, значит, $$S_{пятиуг} = 2*2025 = 4050$$. Площадь правильного пятиугольника равна \(S = \frac{5}{4} a^2 \cot(\frac{\pi}{5})\), где \(a\) — длина стороны. $$4050 = \frac{5}{4} a^2 \cot(\frac{\pi}{5})$$. Отсюда $$a^2 = \frac{4 \cdot 4050}{5 \cot(\frac{\pi}{5})} = \frac{16200}{5 \cot(36^{\circ})} \approx \frac{3240}{1.376} \approx 2354.65$$. $$a \approx \sqrt{2354.65} \approx 48.52$$. Периметр $$P = 5a \approx 5 \cdot 48.52 = 242.6$$. $$P^2 = 242.6^2 \approx 58851$$. **Ответ: 58851**