7. Решите задачу. Два велосипедиста одновременно отправляются в 180-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 5 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 3 часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым.

Пусть скорость второго велосипедиста равна $$x$$ км/ч. Тогда скорость первого велосипедиста будет $$x + 5$$ км/ч. Расстояние, которое они проехали, составляет 180 км. Время, затраченное вторым велосипедистом на прохождение дистанции: $$t_2 = \frac{180}{x}$$. Время, затраченное первым велосипедистом на прохождение дистанции: $$t_1 = \frac{180}{x+5}$$. По условию задачи, первый велосипедист прибывает на 3 часа раньше второго, то есть $$t_2 - t_1 = 3$$. Составим уравнение: $$\frac{180}{x} - \frac{180}{x+5} = 3$$ Умножим обе части уравнения на $$x(x+5)$$ для избавления от дробей: $$180(x+5) - 180x = 3x(x+5)$$ Раскроем скобки: $$180x + 900 - 180x = 3x^2 + 15x$$ Упростим уравнение: $$900 = 3x^2 + 15x$$ Разделим обе части на 3: $$300 = x^2 + 5x$$ Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: $$x^2 + 5x - 300 = 0$$ Решим квадратное уравнение через дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(1)(-300) = 25 + 1200 = 1225$$ $$\sqrt{D} = \sqrt{1225} = 35$$ Найдем корни уравнения: $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + 35}{2} = \frac{30}{2} = 15$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - 35}{2} = \frac{-40}{2} = -20$$ Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем $$x = 15$$ км/ч. Это скорость второго велосипедиста. Тогда скорость первого велосипедиста равна: $$x + 5 = 15 + 5 = 20$$ км/ч. Таким образом, скорость первого велосипедиста, пришедшего к финишу первым, составляет 20 км/ч. Ответ: 20 км/ч