Решите задачу: Если каждое ребро куба увеличить на 2, то его объём увеличится на 98. Найдите ребро куба (см. рис.).

Пусть $$a$$ - длина ребра куба. Тогда объем куба равен $$V = a^3$$. Если каждое ребро куба увеличить на 2, то новое ребро будет $$a+2$$, а новый объем будет $$(a+2)^3$$. По условию, новый объем больше исходного на 98, то есть: $$(a+2)^3 - a^3 = 98$$ Раскроем скобки: $$(a^3 + 6a^2 + 12a + 8) - a^3 = 98$$ $$6a^2 + 12a + 8 = 98$$ $$6a^2 + 12a - 90 = 0$$ Разделим обе части уравнения на 6: $$a^2 + 2a - 15 = 0$$ Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(1)(-15) = 4 + 60 = 64$$ Найдем корни уравнения: $$a_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{64}}{2(1)} = \frac{-2 + 8}{2} = \frac{6}{2} = 3$$ $$a_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{64}}{2(1)} = \frac{-2 - 8}{2} = \frac{-10}{2} = -5$$ Так как длина ребра не может быть отрицательной, то $$a = 3$$. Ответ: Ребро куба равно 3 см. Разъяснение для учеников: 1. Обозначили длину ребра куба за $$a$$. Выразили объём куба как $$a^3$$. 2. Увеличили ребро куба на 2 и получили новое ребро $$a+2$$. Новый объём равен $$(a+2)^3$$. 3. Записали уравнение, используя информацию о том, что увеличение объёма составляет 98: $$(a+2)^3 - a^3 = 98$$. 4. Раскрыли скобки и упростили уравнение. 5. Получили квадратное уравнение $$a^2 + 2a - 15 = 0$$. 6. Решили квадратное уравнение, используя формулу дискриминанта и нахождения корней квадратного уравнения. 7. Выбрали положительное значение для длины ребра, так как длина не может быть отрицательной.