Решите задачу: Радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник, равен 9 см. Вычислите площадь шестиугольника.

Здравствуйте, ученики! Давайте решим эту задачу вместе. **Задача:** Радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник, равен 9 см. Необходимо вычислить площадь шестиугольника. **Решение:** 1. **Понимание задачи:** Правильный шестиугольник состоит из шести равносторонних треугольников. Радиус вписанной окружности (апофема) является высотой каждого из этих треугольников. 2. **Формула площади правильного шестиугольника:** Площадь правильного шестиугольника можно найти, зная его сторону ( a ), по формуле: [ S = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2 ] Однако, в данной задаче нам дана не сторона, а радиус вписанной окружности ( r = 9 ) см. Поэтому, нам нужно выразить сторону ( a ) через радиус ( r ). 3. **Связь между стороной шестиугольника и радиусом вписанной окружности:** Рассмотрим один из шести равносторонних треугольников, составляющих шестиугольник. Радиус вписанной окружности является высотой этого треугольника. В равностороннем треугольнике высота, проведенная к основанию, также является медианой и биссектрисой. Угол между высотой и стороной треугольника равен 30 градусам (половина угла равностороннего треугольника). Тогда можем записать: [ \tan(30^{\circ}) = \frac{a/2}{r} ] [ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{a}{2r} ] [ a = \frac{2r}{\sqrt{3}} ] 4. **Выражение площади через радиус вписанной окружности:** Подставим выражение для стороны ( a ) в формулу площади шестиугольника: [ S = \frac{3\sqrt{3}}{2} \left( \frac{2r}{\sqrt{3}} \right)^2 ] [ S = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{4r^2}{3} ] [ S = 2\sqrt{3} r^2 ] 5. **Вычисление площади:** Теперь подставим значение радиуса ( r = 9 ) см в полученную формулу: [ S = 2\sqrt{3} \cdot 9^2 ] [ S = 2\sqrt{3} \cdot 81 ] [ S = 162\sqrt{3} ] Приближенное значение: [ S \approx 162 \cdot 1.732 = 280.584 ] **Ответ:** Площадь шестиугольника равна **( 162\sqrt{3} ) см(^2)**, что приблизительно равно **280.584 см(^2)**. Надеюсь, это объяснение было полезным! Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать.