Решите задачу: У архитектора Эдифиса есть 10 прямоугольных макетов земельных участков на берегу Нила: $$1 \times 1$$, $$1 \times 2$$, $$1 \times 3$$, $$1 \times 4$$, $$2 \times 2$$, $$2 \times 3$$, $$2 \times 4$$, $$3 \times 3$$, $$3 \times 4$$, $$4 \times 4$$. Во время работы Эдифис потерял один из них, а из остальных составил квадрат. Найди сумму площадей квадратов, которые он мог получить.

Привет, ученик! Давай решим эту интересную задачу вместе. Нам нужно найти сумму площадей квадратов, которые мог составить Эдифис, потеряв один из своих макетов. Сначала вычислим площади каждого прямоугольного участка: 1. $$1 \times 1 = 1$$ 2. $$1 \times 2 = 2$$ 3. $$1 \times 3 = 3$$ 4. $$1 \times 4 = 4$$ 5. $$2 \times 2 = 4$$ 6. $$2 \times 3 = 6$$ 7. $$2 \times 4 = 8$$ 8. $$3 \times 3 = 9$$ 9. $$3 \times 4 = 12$$ 10. $$4 \times 4 = 16$$ Теперь у нас есть набор площадей: $$1, 2, 3, 4, 4, 6, 8, 9, 12, 16$$. Общая площадь всех участков: $$1 + 2 + 3 + 4 + 4 + 6 + 8 + 9 + 12 + 16 = 65$$. Чтобы составить квадрат, необходимо, чтобы общая площадь оставшихся участков была полным квадратом. Это значит, что нам нужно вычесть одну из площадей из 65, чтобы получить число, являющееся квадратом целого числа. Переберём возможные варианты: * Если потерял участок с площадью 1: $$65 - 1 = 64 = 8^2$$. Это квадрат! * Если потерял участок с площадью 2: $$65 - 2 = 63$$. Не квадрат. * Если потерял участок с площадью 3: $$65 - 3 = 62$$. Не квадрат. * Если потерял участок с площадью 4: $$65 - 4 = 61$$. Не квадрат. * Если потерял участок с площадью 4: $$65 - 4 = 61$$. Не квадрат. * Если потерял участок с площадью 6: $$65 - 6 = 59$$. Не квадрат. * Если потерял участок с площадью 8: $$65 - 8 = 57$$. Не квадрат. * Если потерял участок с площадью 9: $$65 - 9 = 56$$. Не квадрат. * Если потерял участок с площадью 12: $$65 - 12 = 53$$. Не квадрат. * Если потерял участок с площадью 16: $$65 - 16 = 49 = 7^2$$. Это квадрат! Итак, мы нашли два варианта, когда оставшаяся площадь является квадратом: 64 и 49. Сумма этих площадей и будет ответом на задачу. $$64 + 49 = 113$$ Ответ: 113