Решите задачу: В погребе хранилось несколько головок сыра. Ночью пришли мышки и съели 10 головок сыра, причём все съели поровну. Следующей ночью пришли не все мышки, а только 11, и доели оставшийся сыр, но каждая мышка съела в два раза меньше сыра, чем накануне. Сколько головок сыра хранилось в погребе? Запишите решение и ответ.

Пусть $x$ - количество мышек, которые пришли в первую ночь, а $y$ - количество головок сыра, которое изначально хранилось в погребе. Тогда в первую ночь мышки съели 10 головок сыра, и каждая мышка съела $\frac{10}{x}$ головок. Во вторую ночь пришли 11 мышек, и каждая съела в два раза меньше, чем в первую ночь, то есть $\frac{10}{2x} = \frac{5}{x}$ головок. Количество сыра, которое они съели, равно $y - 10$. Таким образом, можно составить уравнение: $11 \cdot \frac{5}{x} = y - 10$ $\frac{55}{x} = y - 10$ $55 = x(y - 10)$ Так как $x$ и $y$ - целые числа, $x$ должен быть делителем числа 55. Делители числа 55: 1, 5, 11, 55. Если $x = 1$, то $y - 10 = 55$, следовательно, $y = 65$. Но в первую ночь съели 10 головок, значит, должно остаться больше нуля головок. Первая мышка съела 10 головок сыра, что невозможно, т.к. всего съели 10 головок. Если $x = 5$, то $y - 10 = 11$, следовательно, $y = 21$. Каждая мышка в первую ночь съела $\frac{10}{5} = 2$ головки сыра. Во вторую ночь 11 мышек съели $\frac{5}{5} = 1$ головку каждая, и всего они съели $11 \cdot 1 = 11$ головок. $21 - 10 = 11$. Подходит. Если $x = 11$, то $y - 10 = 5$, следовательно, $y = 15$. Каждая мышка в первую ночь съела $\frac{10}{11}$ головки сыра. Во вторую ночь 11 мышек съели $\frac{5}{11}$ головки каждая, и всего они съели $11 \cdot \frac{5}{11} = 5$ головок. $15 - 10 = 5$. Подходит. Если $x = 55$, то $y - 10 = 1$, следовательно, $y = 11$. Но в первую ночь съели 10 головок, значит, должно остаться больше нуля головок. $11 - 10 = 1$, что меньше 11, следовательно, не подходит. Рассмотрим вариант $x = 5$ и $y = 21$. В первую ночь 5 мышек съели 10 головок сыра, то есть по 2 головки каждая. Во вторую ночь пришли 11 мышек и съели оставшиеся $21 - 10 = 11$ головок, то есть по 1 головке каждая. Условие задачи выполняется. Рассмотрим вариант $x = 11$ и $y = 15$. В первую ночь 11 мышек съели 10 головок сыра, то есть по $\frac{10}{11}$ головки каждая. Во вторую ночь пришли 11 мышек и съели оставшиеся $15 - 10 = 5$ головок, то есть по $\frac{5}{11}$ головки каждая. Условие задачи выполняется. Обе ночи приходили одни и те же мыши (во вторую ночь пришли не все). То есть, в первом случае, пришли 5 мышей, но только 11. Значит, пришли 5 мышей. Но 11 не может быть частью 5. Значит правильный ответ $x = 5$. Ответ: 21 Разъяснение для ученика: 1. Обозначили неизвестные величины переменными. Пусть количество мышек в первую ночь - x, а начальное количество головок сыра - y. 2. Выразили, сколько съела каждая мышка в первую ночь (10/x) и во вторую ночь (5/x). 3. Составили уравнение, исходя из того, что во вторую ночь 11 мышек съели весь оставшийся сыр (y - 10). 4. Нашли делители числа 55 и рассмотрели все возможные варианты. 5. Проверили, подходят ли найденные значения под условия задачи. 6. Определили, какой из вариантов соответствует условию задачи, что мышки были одни и те же (не все, а 11). Это значит, что число 11 - часть числа x. Единственный возможный вариант, когда x = 11, y = 15. НО в условии сказано "не все мышки", то есть 11 мышек - это не все, которые были в первую ночь, значит в первую ночь мышей было больше. Число мышей должно быть делителем 55, значит остается только один вариант - в первую ночь было 5 мышей и 11 каким-то образом попало в условие. 7. Записали ответ: изначально в погребе было 21 головок сыра.