6. Решитеуравнение: log6²x+2log6x-3=0.

Решим уравнение: (log₆x)² + 2log₆x - 3 = 0.

Пусть y = log₆x. Тогда уравнение примет вид:

y² + 2y - 3 = 0.

Решим это квадратное уравнение:

D = b² - 4ac = 2² - 4 * 1 * (-3) = 4 + 12 = 16.

$$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1$$

$$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 - 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3$$

Теперь вернемся к замене y = log₆x.

1) log₆x = 1. x = 6¹ = 6.

2) log₆x = -3. x = 6^-3 = $$rac{1}{6^3}$$ = $$rac{1}{216}$$

Проверим, входят ли x = 6 и x = 1/216 в область определения логарифма. x > 0. Оба значения удовлетворяют этому условию.

Ответ: x = 6 и x = 1/216