Рис. 649. Дано: АВ, ВС – касательные, ОВ = 2, AO = 4. Найти: ∠BOC.

Соединим точку O с точкой C. Так как AB и BC - касательные к окружности, то OB ⊥ AB и OC ⊥ BC (радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной). Следовательно, углы OBA и OCB - прямые, то есть ∠OBA = ∠OCB = 90°.

Рассмотрим четырехугольник ABCO. Сумма углов четырехугольника равна 360°. Тогда:

∠BOC = 360° - ∠OBA - ∠OCB - ∠BAC.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABO. В нём катет OB равен 2, а гипотенуза AO равна 4. Так как катет, лежащий против угла, равен половине гипотенузы, то ∠BAO = 30°.

Следовательно, ∠BAC = 30°.

Тогда ∠BOC = 360° - 90° - 90° - 30° = 150°.

Ответ: ∠BOC = 150°.