12. Рис. 613. Дано: КМ₁ = М₁P, AB || MP, AB = 18. Найти: МP.

По условию $$KM_1 = M_1P$$ и $$AB || MP$$. Рассмотрим треугольник $$MKP$$. Поскольку $$KM_1 = M_1P$$, то $$AM_1$$ является медианой треугольника $$MKP$$. Так как $$AB || MP$$, то треугольники $$AKB$$ и $$MKP$$ подобны. Обозначим коэффициент подобия как $$k = \frac{MP}{AB}$$. Поскольку $$KM_1 = M_1P$$, то $$M_1$$ является серединой $$KP$$. Следовательно, $$KM_1 = M_1P = \frac{1}{2} KP$$. Так как $$AB || MP$$, то $$\frac{AK}{AM} = \frac{AB}{MP}$$. Из подобия треугольников имеем: $$\frac{AB}{MP} = \frac{AK}{AM}$$. Так как $$KM_1 = M_1P$$, то $$KM_1 = \frac{1}{2}KP$$, и, следовательно, $$AK = \frac{1}{2}AM$$. Значит, $$\frac{AK}{AM} = \frac{1}{2}$$. Таким образом, $$\frac{AB}{MP} = \frac{1}{2}$$, то есть $$MP = 2 cdot AB$$. Поскольку $$AB = 18$$, то $$MP = 2 cdot 18 = 36$$. Ответ: $$MP = 36$$.