Рис. 1.84. Дано: ∠NMO : ∠LMN = 1 : 3. Найти: ∠NMO, ∠LMN, ∠RMO, ∠LMR.

Лучевидные пары \(ML\) и \(MO\), а также \(MR\) и \(MN\) образуют две пересекающиеся прямые. Поэтому смежные углы \(\angle NMO\) и \(\angle LMN\) в сумме дают \(180^\circ\).

Пусть \(\angle NMO=x\), тогда \(\angle LMN=3x\). Получаем:

\[x+3x=180^\circ,\qquad 4x=180^\circ,\qquad x=45^\circ.\]

Следовательно, \(\angle NMO=45^\circ\), \(\angle LMN=135^\circ\). Вертикальные углы равны: \(\angle LMR=\angle NMO=45^\circ\), \(\angle RMO=\angle LMN=135^\circ\).

Ответ: \(\angle NMO=45^\circ\), \(\angle LMN=135^\circ\), \(\angle RMO=135^\circ\), \(\angle LMR=45^\circ\).